Trigonometria Esempi

$\frac{{(y - 2)}^{2}}{9} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{4} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(y - 2)}^{2}}{9} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{4} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 3$

$b = 2$

$k = 2$

$h = 3$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(3, 2)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(2)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{9 + {(2)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{9 + 4}$

Passaggio 5.3.3

Somma $9$ e $4$ .

$\sqrt{13}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(3, 5)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(3, - 1)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm a)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(3, 5), (3, - 1)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(3, 2 + \sqrt{13})$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(3, 2 - \sqrt{13})$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(3, 2 + \sqrt{13}), (3, 2 - \sqrt{13})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(2)}^{2}}}{3}$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2^{2}}}{3}$

Passaggio 8.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4}}{3}$

Passaggio 8.3.3

Somma $9$ e $4$ .

$\frac{\sqrt{13}}{3}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{2^{2}}{\sqrt{13}}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4}{\sqrt{13}}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $\frac{4}{\sqrt{13}}$ per $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Passaggio 9.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Moltiplica $\frac{4}{\sqrt{13}}$ per $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{4 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Passaggio 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{13}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

Passaggio 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{13}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

Passaggio 9.3.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{4 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Passaggio 9.3.3.6

Riscrivi ${\sqrt{13}}^{2}$ come $13$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{13}$ come $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.3.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{4 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 \sqrt{13}}{13^{1}}$

Passaggio 9.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{4 \sqrt{13}}{13}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ perché questa iperbole sia apre in alto e in basso.

$y = \pm \frac{3}{2} \cdot (x - (3)) + 2$

Passaggio 11

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - (3)) + 2$

Passaggio 11.2

Semplifica $\frac{3}{2} \cdot (x - (3)) + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - 3) + 2$

Passaggio 11.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot - 3 + 2$

Passaggio 11.2.1.3

$\frac{3}{2}$ e $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot - 3 + 2$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.1

$\frac{3}{2}$ e $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3 \cdot - 3}{2} + 2$

Passaggio 11.2.1.4.2

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 9}{2} + 2$

Passaggio 11.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2} + 2$

Passaggio 11.2.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 11.2.3

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Passaggio 11.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 9 + 2 \cdot 2}{2}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 9 + 4}{2}$

Passaggio 11.2.5.2

Somma $- 9$ e $4$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 5}{2}$

Passaggio 11.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{5}{2}$

Passaggio 12

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - (3)) + 2$

Passaggio 12.2

Semplifica $- \frac{3}{2} \cdot (x - (3)) + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - 3) + 2$

Passaggio 12.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 3 + 2$

Passaggio 12.2.1.3

$x$ e $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 3 + 2$

Passaggio 12.2.1.4

Moltiplica $- \frac{3}{2} \cdot - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.4.1

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 3 (\frac{3}{2}) + 2$

Passaggio 12.2.1.4.2

$3$ e $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{3 \cdot 3}{2} + 2$

Passaggio 12.2.1.4.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{9}{2} + 2$

Passaggio 12.2.1.5

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{2} + 2$

Passaggio 12.2.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 12.2.3

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Passaggio 12.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{9 + 2 \cdot 2}{2}$

Passaggio 12.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{9 + 4}{2}$

Passaggio 12.2.5.2

Somma $9$ e $4$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{13}{2}$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{5}{2}, y = - \frac{3 x}{2} + \frac{13}{2}$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(3, 2)$

Vertici: $(3, 5), (3, - 1)$

Fuochi: $(3, 2 + \sqrt{13}), (3, 2 - \sqrt{13})$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{13}}{3}$

Asse focale: $\frac{4 \sqrt{13}}{13}$

Asintoti: $y = \frac{3 x}{2} - \frac{5}{2}$ , $y = - \frac{3 x}{2} + \frac{13}{2}$

Passaggio 15