Trigonometria Esempi

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{25} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{25} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 5$

$b = 2$

$k = - 4$

$h = - 3$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(- 3, - 4)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

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Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{25 - {(2)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 4}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\sqrt{25 - 4}$

Passaggio 5.3.4

Sottrai $4$ da $25$ .

$\sqrt{21}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

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Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(- 3, - 4 + 5)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$(- 3, 1)$

Passaggio 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(- 3, - 4 - (5))$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$(- 3, - 9)$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(- 3, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 3, - 9)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 3, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 3, - 9)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

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Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(- 3, - 4 + \sqrt{21})$

Passaggio 7.3

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(- 3, - 4 - (\sqrt{21}))$

Passaggio 7.5

Semplifica.

$(- 3, - 4 - \sqrt{21})$

Passaggio 7.6

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(- 3, - 4 + \sqrt{21})$

${Focus}_{2}$ : $(- 3, - 4 - \sqrt{21})$

${Focus}_{1}$ : $(- 3, - 4 + \sqrt{21})$

${Focus}_{2}$ : $(- 3, - 4 - \sqrt{21})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

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Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} - {(2)}^{2}}}{5}$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.3.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - 2^{2}}}{5}$

Passaggio 8.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - 1 \cdot 4}}{5}$

Passaggio 8.3.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{\sqrt{25 - 4}}{5}$

Passaggio 8.3.4

Sottrai $4$ da $25$ .

$\frac{\sqrt{21}}{5}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(- 3, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 3, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 3, - 9)$

${Focus}_{1}$ : $(- 3, - 4 + \sqrt{21})$

${Focus}_{2}$ : $(- 3, - 4 - \sqrt{21})$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{21}}{5}$

Passaggio 10