Trigonometria Esempi

$\log_{4} (x - 1) + 2$

Passaggio 1

Trova gli asintoti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova dove l'espressione $\log_{4} (x - 1) + 2$ è indefinita.

$x \leq 1$

Passaggio 1.2

Poiché $\log_{4} (x - 1) + 2$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $1$ da sinistra e $\log_{4} (x - 1) + 2$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $1$ da destra, allora $x = 1$ è un asintoto verticale.

$x = 1$

Passaggio 1.3

Ignorando il logaritmo, considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 1.4

Non ci sono asintoti orizzontali perché $Q (x)$ è $1$ .

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 1.5

Non sono presenti asintoti obliqui per le funzioni logaritmiche e trigonometriche.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 1.6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 1$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti verticali: $x = 1$

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 2

Trova il punto in corrispondenza di $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \log_{4} ((2) - 1) + 2$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sottrai $1$ da $2$ .

$f (2) = \log_{4} (1) + 2$

Passaggio 2.2.1.2

Il logaritmo in base $4$ di $1$ è $0$ .

$f (2) = 0 + 2$

Passaggio 2.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$f (2) = 2$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 2.3

Converti $2$ in decimale.

$y = 2$

Passaggio 3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f (5) = \log_{4} ((5) - 1) + 2$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Sottrai $1$ da $5$ .

$f (5) = \log_{4} (4) + 2$

Passaggio 3.2.1.2

Il logaritmo in base $4$ di $4$ è $1$ .

$f (5) = 1 + 2$

Passaggio 3.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (5) = 3$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è $3$ .

$3$

Passaggio 3.3

Converti $3$ in decimale.

$y = 3$

Passaggio 4

Trova il punto in corrispondenza di $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = \log_{4} ((3) - 1) + 2$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Sottrai $1$ da $3$ .

$f (3) = \log_{4} (2) + 2$

Passaggio 4.2.1.2

Il logaritmo in base $4$ di $2$ è $\frac{1}{2}$ .

$f (3) = \frac{1}{2} + 2$

Passaggio 4.2.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 4.2.3

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Passaggio 4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (3) = \frac{1 + 2 \cdot 2}{2}$

Passaggio 4.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (3) = \frac{1 + 4}{2}$

Passaggio 4.2.5.2

Somma $1$ e $4$ .

$f (3) = \frac{5}{2}$

Passaggio 4.2.6

La risposta finale è $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

Passaggio 4.3

Converti $\frac{5}{2}$ in decimale.

$y = 2.5$

Passaggio 5

La funzione logaritmo può essere rappresentata graficamente utilizzando l'asintoto verticale in $x = 1$ e i punti $(2, 2), (5, 3), (3, 2.5)$ .

Asintoto verticale: $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 2 \\ 3 & 2.5 \\ 5 & 3 \end{array}$

Passaggio 6