Trigonometria Esempi

$9 x^{2} + 16 y^{2} - 36 x + 160 y + 292 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $292$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 x^{2} + 16 y^{2} - 36 x + 160 y = - 292$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $9 x^{2} - 36 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 9$

$b = - 36$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 36}{2 \cdot 9}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 36$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 36$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (9)}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 18}{9}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 18$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $9$ da $- 18$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Scomponi $9$ da $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 (1)}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 2}{1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$d = - 2$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 36$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot 9}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $9$ .

$e = 0 - \frac{1296}{36}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $1296$ per $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $36$ .

$e = 0 - 36$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $36$ da $0$ .

$e = - 36$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36$

Passaggio 1.3

Sostituisci $9 x^{2} - 36 x$ con $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ nell'equazione $9 x^{2} + 16 y^{2} - 36 x + 160 y = - 292$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36 + 16 y^{2} + 160 y = - 292$

Passaggio 1.4

Sposta $- 36$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $36$ a entrambi i lati.

$9 {(x - 2)}^{2} + 16 y^{2} + 160 y = - 292 + 36$

Passaggio 1.5

Completa il quadrato per $16 y^{2} + 160 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 16$

$b = 160$

$c = 0$

Passaggio 1.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{160}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $160$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $160$ .

$d = \frac{2 \cdot 80}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot 80}{2 (16)}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 80}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{80}{16}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $80$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.1

Scomponi $16$ da $80$ .

$d = \frac{16 \cdot 5}{16}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.2.1

Scomponi $16$ da $16$ .

$d = \frac{16 \cdot 5}{16 (1)}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{16 \cdot 5}{16 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{5}{1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.4

Dividi $5$ per $1$ .

$d = 5$

Passaggio 1.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{160^{2}}{4 \cdot 16}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Eleva $160$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{25600}{4 \cdot 16}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $16$ .

$e = 0 - \frac{25600}{64}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Dividi $25600$ per $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 400$

Passaggio 1.5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $400$ .

$e = 0 - 400$

Passaggio 1.5.4.2.2

Sottrai $400$ da $0$ .

$e = - 400$

Passaggio 1.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $16 {(y + 5)}^{2} - 400$ .

$16 {(y + 5)}^{2} - 400$

Passaggio 1.6

Sostituisci $16 y^{2} + 160 y$ con $16 {(y + 5)}^{2} - 400$ nell'equazione $9 x^{2} + 16 y^{2} - 36 x + 160 y = - 292$ .

$9 {(x - 2)}^{2} + 16 {(y + 5)}^{2} - 400 = - 292 + 36$

Passaggio 1.7

Sposta $- 400$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $400$ a entrambi i lati.

$9 {(x - 2)}^{2} + 16 {(y + 5)}^{2} = - 292 + 36 + 400$

Passaggio 1.8

Semplifica $- 292 + 36 + 400$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Somma $- 292$ e $36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} + 16 {(y + 5)}^{2} = - 256 + 400$

Passaggio 1.8.2

Somma $- 256$ e $400$ .

$9 {(x - 2)}^{2} + 16 {(y + 5)}^{2} = 144$

Passaggio 1.9

Dividi per $144$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{9 {(x - 2)}^{2}}{144} + \frac{16 {(y + 5)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Passaggio 1.10

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{16} + \frac{{(y + 5)}^{2}}{9} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 4$

$b = 3$

$k = - 5$

$h = 2$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(2, - 5)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(4)}^{2} - {(3)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{16 - {(3)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{16 - 1 \cdot 9}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\sqrt{16 - 9}$

Passaggio 5.3.4

Sottrai $9$ da $16$ .

$\sqrt{7}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(2 + 4, - 5)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$(6, - 5)$

Passaggio 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(2 - (4), - 5)$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$(- 2, - 5)$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(6, - 5)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2, - 5)$

${Vertex}_{1}$ : $(6, - 5)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2, - 5)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(2 + \sqrt{7}, - 5)$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(2 - (\sqrt{7}), - 5)$

Passaggio 7.5

Semplifica.

$(2 - \sqrt{7}, - 5)$

Passaggio 7.6

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(2 + \sqrt{7}, - 5)$

${Focus}_{2}$ : $(2 - \sqrt{7}, - 5)$

${Focus}_{1}$ : $(2 + \sqrt{7}, - 5)$

${Focus}_{2}$ : $(2 - \sqrt{7}, - 5)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(3)}^{2}}}{4}$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - 3^{2}}}{4}$

Passaggio 8.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 9}}{4}$

Passaggio 8.3.3

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\frac{\sqrt{16 - 9}}{4}$

Passaggio 8.3.4

Sottrai $9$ da $16$ .

$\frac{\sqrt{7}}{4}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(2, - 5)$

${Vertex}_{1}$ : $(6, - 5)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2, - 5)$

${Focus}_{1}$ : $(2 + \sqrt{7}, - 5)$

${Focus}_{2}$ : $(2 - \sqrt{7}, - 5)$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{7}}{4}$

Passaggio 10