Trigonometria Esempi

$f (t) = 40 \cos (80 t + 20)$

Passaggio 1

Utilizza la forma $a \cos (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = 40$

$b = 80$

$c = - 20$

$d = 0$

Passaggio 2

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $40$

Passaggio 3

Trova il periodo di $40 \cos (80 x + 20)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2

Sostituisci $b$ con $80$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 80 |}$

Passaggio 3.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $80$ è $80$ .

$\frac{2 π}{80}$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $80$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{80}$

Passaggio 3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Scomponi $2$ da $80$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 40}$

Passaggio 3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2 \cdot 40}$

Passaggio 3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π}{40}$

Passaggio 4

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{- 20}{80}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $- 20$ e $80$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scomponi $20$ da $- 20$ .

Sfasamento: $\frac{20 (- 1)}{80}$

Passaggio 4.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $20$ da $80$ .

Sfasamento: $\frac{20 \cdot - 1}{20 \cdot 4}$

Passaggio 4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

Sfasamento: $\frac{20 \cdot - 1}{20 \cdot 4}$

Passaggio 4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

Sfasamento: $\frac{- 1}{4}$

Passaggio 4.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

Sfasamento: $- \frac{1}{4}$

Passaggio 5

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $40$

Periodo: $\frac{π}{40}$

Sfasamento: $- \frac{1}{4}$ ( $\frac{1}{4}$ a sinistra)

Traslazione verticale: no

Passaggio 6

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = - \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{4}$ nell'espressione.

$f (- \frac{1}{4}) = 40 \cos (80 (- \frac{1}{4}) + 20)$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4}$ nel numeratore.

$f (- \frac{1}{4}) = 40 \cos (80 (\frac{- 1}{4}) + 20)$

Passaggio 6.1.2.1.1.2

Scomponi $4$ da $80$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 40 \cos (4 (20) (\frac{- 1}{4}) + 20)$

Passaggio 6.1.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1}{4}) = 40 \cos (4 \cdot (20 (\frac{- 1}{4})) + 20)$

Passaggio 6.1.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1}{4}) = 40 \cos (20 \cdot - 1 + 20)$

Passaggio 6.1.2.1.2

Moltiplica $20$ per $- 1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 40 \cos (- 20 + 20)$

Passaggio 6.1.2.2

Somma $- 20$ e $20$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 40 \cos (0)$

Passaggio 6.1.2.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 40 \cdot 1$

Passaggio 6.1.2.4

Moltiplica $40$ per $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 40$

Passaggio 6.1.2.5

La risposta finale è $40$ .

$40$

Passaggio 6.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{π}{160} - \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{160} - \frac{1}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (80 (\frac{π}{160} - \frac{1}{4}) + 20)$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (80 (\frac{π}{160}) + 80 (- \frac{1}{4}) + 20)$

Passaggio 6.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $80$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.1

Scomponi $80$ da $160$ .

$f (\frac{π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (80 (\frac{π}{80 (2)}) + 80 (- \frac{1}{4}) + 20)$

Passaggio 6.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (80 (\frac{π}{80 \cdot 2}) + 80 (- \frac{1}{4}) + 20)$

Passaggio 6.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{π}{2} + 80 (- \frac{1}{4}) + 20)$

Passaggio 6.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4}$ nel numeratore.

$f (\frac{π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{π}{2} + 80 (\frac{- 1}{4}) + 20)$

Passaggio 6.2.2.1.3.2

Scomponi $4$ da $80$ .

$f (\frac{π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{π}{2} + 4 (20) (\frac{- 1}{4}) + 20)$

Passaggio 6.2.2.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{π}{2} + 4 \cdot (20 (\frac{- 1}{4})) + 20)$

Passaggio 6.2.2.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{π}{2} + 20 \cdot - 1 + 20)$

Passaggio 6.2.2.1.4

Moltiplica $20$ per $- 1$ .

$f (\frac{π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{π}{2} - 20 + 20)$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Somma $- 20$ e $20$ .

$f (\frac{π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{π}{2} + 0)$

Passaggio 6.2.2.2.2

Somma $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$f (\frac{π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 6.2.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cdot 0$

Passaggio 6.2.2.4

Moltiplica $40$ per $0$ .

$f (\frac{π}{160} - \frac{1}{4}) = 0$

Passaggio 6.2.2.5

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{π}{80} - \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{80} - \frac{1}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{80} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (80 (\frac{π}{80} - \frac{1}{4}) + 20)$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{π}{80} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (80 (\frac{π}{80}) + 80 (- \frac{1}{4}) + 20)$

Passaggio 6.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $80$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{80} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (80 (\frac{π}{80}) + 80 (- \frac{1}{4}) + 20)$

Passaggio 6.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{80} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (π + 80 (- \frac{1}{4}) + 20)$

Passaggio 6.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4}$ nel numeratore.

$f (\frac{π}{80} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (π + 80 (\frac{- 1}{4}) + 20)$

Passaggio 6.3.2.1.3.2

Scomponi $4$ da $80$ .

$f (\frac{π}{80} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (π + 4 (20) (\frac{- 1}{4}) + 20)$

Passaggio 6.3.2.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{80} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (π + 4 \cdot (20 (\frac{- 1}{4})) + 20)$

Passaggio 6.3.2.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{80} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (π + 20 \cdot - 1 + 20)$

Passaggio 6.3.2.1.4

Moltiplica $20$ per $- 1$ .

$f (\frac{π}{80} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (π - 20 + 20)$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Somma $- 20$ e $20$ .

$f (\frac{π}{80} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (π + 0)$

Passaggio 6.3.2.2.2

Somma $π$ e $0$ .

$f (\frac{π}{80} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (π)$

Passaggio 6.3.2.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{π}{80} - \frac{1}{4}) = 40 (- \cos (0))$

Passaggio 6.3.2.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{π}{80} - \frac{1}{4}) = 40 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 6.3.2.5

Moltiplica $40 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{π}{80} - \frac{1}{4}) = 40 \cdot - 1$

Passaggio 6.3.2.5.2

Moltiplica $40$ per $- 1$ .

$f (\frac{π}{80} - \frac{1}{4}) = - 40$

Passaggio 6.3.2.6

La risposta finale è $- 40$ .

$- 40$

Passaggio 6.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (80 (\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}) + 20)$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (80 (\frac{3 π}{160}) + 80 (- \frac{1}{4}) + 20)$

Passaggio 6.4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $80$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.2.1

Scomponi $80$ da $160$ .

$f (\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (80 (\frac{3 π}{80 (2)}) + 80 (- \frac{1}{4}) + 20)$

Passaggio 6.4.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (80 (\frac{3 π}{80 \cdot 2}) + 80 (- \frac{1}{4}) + 20)$

Passaggio 6.4.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{3 π}{2} + 80 (- \frac{1}{4}) + 20)$

Passaggio 6.4.2.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4}$ nel numeratore.

$f (\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{3 π}{2} + 80 (\frac{- 1}{4}) + 20)$

Passaggio 6.4.2.1.3.2

Scomponi $4$ da $80$ .

$f (\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{3 π}{2} + 4 (20) (\frac{- 1}{4}) + 20)$

Passaggio 6.4.2.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{3 π}{2} + 4 \cdot (20 (\frac{- 1}{4})) + 20)$

Passaggio 6.4.2.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{3 π}{2} + 20 \cdot - 1 + 20)$

Passaggio 6.4.2.1.4

Moltiplica $20$ per $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{3 π}{2} - 20 + 20)$

Passaggio 6.4.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1

Somma $- 20$ e $20$ .

$f (\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{3 π}{2} + 0)$

Passaggio 6.4.2.2.2

Somma $\frac{3 π}{2}$ e $0$ .

$f (\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 6.4.2.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 6.4.2.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cdot 0$

Passaggio 6.4.2.5

Moltiplica $40$ per $0$ .

$f (\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}) = 0$

Passaggio 6.4.2.6

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{π}{40} - \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{40} - \frac{1}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{40} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (80 (\frac{π}{40} - \frac{1}{4}) + 20)$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{π}{40} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (80 (\frac{π}{40}) + 80 (- \frac{1}{4}) + 20)$

Passaggio 6.5.2.1.2

Elimina il fattore comune di $40$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.2.1

Scomponi $40$ da $80$ .

$f (\frac{π}{40} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (40 (2) (\frac{π}{40}) + 80 (- \frac{1}{4}) + 20)$

Passaggio 6.5.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{40} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (40 \cdot (2 (\frac{π}{40})) + 80 (- \frac{1}{4}) + 20)$

Passaggio 6.5.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{40} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (2 π + 80 (- \frac{1}{4}) + 20)$

Passaggio 6.5.2.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4}$ nel numeratore.

$f (\frac{π}{40} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (2 π + 80 (\frac{- 1}{4}) + 20)$

Passaggio 6.5.2.1.3.2

Scomponi $4$ da $80$ .

$f (\frac{π}{40} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (2 π + 4 (20) (\frac{- 1}{4}) + 20)$

Passaggio 6.5.2.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{40} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (2 π + 4 \cdot (20 (\frac{- 1}{4})) + 20)$

Passaggio 6.5.2.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{40} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (2 π + 20 \cdot - 1 + 20)$

Passaggio 6.5.2.1.4

Moltiplica $20$ per $- 1$ .

$f (\frac{π}{40} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (2 π - 20 + 20)$

Passaggio 6.5.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1

Somma $- 20$ e $20$ .

$f (\frac{π}{40} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (2 π + 0)$

Passaggio 6.5.2.2.2

Somma $2 π$ e $0$ .

$f (\frac{π}{40} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (2 π)$

Passaggio 6.5.2.3

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (\frac{π}{40} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (0)$

Passaggio 6.5.2.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{π}{40} - \frac{1}{4}) = 40 \cdot 1$

Passaggio 6.5.2.5

Moltiplica $40$ per $1$ .

$f (\frac{π}{40} - \frac{1}{4}) = 40$

Passaggio 6.5.2.6

La risposta finale è $40$ .

$40$

Passaggio 6.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{1}{4} & 40 \\ \frac{π}{160} - \frac{1}{4} & 0 \\ \frac{π}{80} - \frac{1}{4} & - 40 \\ \frac{3 π}{160} - \frac{1}{4} & 0 \\ \frac{π}{40} - \frac{1}{4} & 40 \end{array}$

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $40$

Periodo: $\frac{π}{40}$

Sfasamento: $- \frac{1}{4}$ ( $\frac{1}{4}$ a sinistra)

Traslazione verticale: no

Passaggio 8