Trigonometria Esempi

$A = 30$ , $a = 7$ , $b = 14$

Passaggio 1

Il teorema dei seni produce un risultato ambiguo per l'angolo. Ciò significa che ci sono $2$ angoli che risolvono correttamente l'equazione. Per il primo triangolo, utilizza il valore del primo angolo possibile.

Risolvi per il primo triangolo.

Passaggio 2

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $B$ .

$\frac{\sin (B)}{14} = \frac{\sin (30)}{7}$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione per $B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $14$ .

$14 \frac{\sin (B)}{14} = 14 \frac{\sin (30)}{7}$

Passaggio 4.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$14 \frac{\sin (B)}{14} = 14 \frac{\sin (30)}{7}$

Passaggio 4.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (B) = 14 \frac{\sin (30)}{7}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica $14 \frac{\sin (30)}{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Scomponi $7$ da $14$ .

$\sin (B) = 7 (2) \frac{\sin (30)}{7}$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\sin (B) = 7 \cdot 2 \frac{\sin (30)}{7}$

Passaggio 4.2.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\sin (B) = 2 \sin (30)$

Passaggio 4.2.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\sin (B) = 2 (\frac{1}{2})$

Passaggio 4.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (B) = 2 (\frac{1}{2})$

Passaggio 4.2.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (B) = 1$

Passaggio 4.3

Trova il valore dell'incognita $B$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$B = \arcsin (1)$

Passaggio 4.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (1)$ è $90$ .

$B = 90$

Passaggio 4.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$B = 180 - 90$

Passaggio 4.6

Sottrai $90$ da $180$ .

$B = 90$

Passaggio 4.7

La soluzione dell'equazione $B = 90$ .

$B = 90, 90$

Passaggio 5

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$30 + C + 90 = 180$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Somma $30$ e $90$ .

$C + 120 = 180$

Passaggio 6.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sottrai $120$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 180 - 120$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $120$ da $180$ .

$C = 60$

Passaggio 7

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 8

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $c$ .

$\frac{\sin (60)}{c} = \frac{\sin (30)}{7}$

Passaggio 9

Risolvi l'equazione per $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Il valore esatto di $\sin (60)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{c} = \frac{\sin (30)}{7}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{c} = \frac{\sin (30)}{7}$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $\frac{1}{c}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{\sin (30)}{7}$

Passaggio 9.1.4

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{\frac{1}{2}}{7}$

Passaggio 9.1.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7}$

Passaggio 9.1.6

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.6.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{7}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{2 \cdot 7}$

Passaggio 9.1.6.2

Moltiplica $2$ per $7$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{14}$

Passaggio 9.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$2 c, 14$

Passaggio 9.2.2

Since $2 c, 14$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 14$ then find LCM for the variable part $c^{1}$ .

Passaggio 9.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 9.2.4

Poiché $2$ non presenta fattori eccetto $1$ e $2$ .

$2$ è un numero primo

Passaggio 9.2.5

$14$ presenta fattori di $2$ e $7$ .

$2 \cdot 7$

Passaggio 9.2.6

Moltiplica $2$ per $7$ .

$14$

Passaggio 9.2.7

Il fattore di $c^{1}$ è $c$ stesso.

$c^{1} = c$

$c$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 9.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $c^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$c$

Passaggio 9.2.9

Il minimo comune multiplo di $2 c, 14$ è la parte numerica $14$ moltiplicata per la parte variabile.

$14 c$

Passaggio 9.3

Moltiplica per $14 c$ ciascun termine in $\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{14}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{14}$ per $14 c$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} (14 c) = \frac{1}{14} (14 c)$

Passaggio 9.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$14 \frac{\sqrt{3}}{2 c} c = \frac{1}{14} (14 c)$

Passaggio 9.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $14$ .

$2 (7) \frac{\sqrt{3}}{2 c} c = \frac{1}{14} (14 c)$

Passaggio 9.3.2.2.2

Scomponi $2$ da $2 c$ .

$2 (7) \frac{\sqrt{3}}{2 (c)} c = \frac{1}{14} (14 c)$

Passaggio 9.3.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 7 \frac{\sqrt{3}}{2 c} c = \frac{1}{14} (14 c)$

Passaggio 9.3.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$7 \frac{\sqrt{3}}{c} c = \frac{1}{14} (14 c)$

Passaggio 9.3.2.3

$7$ e $\frac{\sqrt{3}}{c}$ .

$\frac{7 \sqrt{3}}{c} c = \frac{1}{14} (14 c)$

Passaggio 9.3.2.4

Elimina il fattore comune di $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 \sqrt{3}}{c} c = \frac{1}{14} (14 c)$

Passaggio 9.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$7 \sqrt{3} = \frac{1}{14} (14 c)$

Passaggio 9.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Elimina il fattore comune di $14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1.1

Scomponi $14$ da $14 c$ .

$7 \sqrt{3} = \frac{1}{14} (14 (c))$

Passaggio 9.3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$7 \sqrt{3} = \frac{1}{14} (14 c)$

Passaggio 9.3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$7 \sqrt{3} = c$

Passaggio 9.4

Riscrivi l'equazione come $c = 7 \sqrt{3}$ .

$c = 7 \sqrt{3}$

Passaggio 10

Per il secondo triangolo, utilizza il valore del secondo angolo possibile.

Risolvi per il secondo triangolo.

Passaggio 11

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 12

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $B$ .

$\frac{\sin (B)}{14} = \frac{\sin (30)}{7}$

Passaggio 13

Risolvi l'equazione per $B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $14$ .

$14 \frac{\sin (B)}{14} = 14 \frac{\sin (30)}{7}$

Passaggio 13.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1

Elimina il fattore comune di $14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$14 \frac{\sin (B)}{14} = 14 \frac{\sin (30)}{7}$

Passaggio 13.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (B) = 14 \frac{\sin (30)}{7}$

Passaggio 13.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1

Semplifica $14 \frac{\sin (30)}{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1.1.1

Scomponi $7$ da $14$ .

$\sin (B) = 7 (2) \frac{\sin (30)}{7}$

Passaggio 13.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\sin (B) = 7 \cdot 2 \frac{\sin (30)}{7}$

Passaggio 13.2.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\sin (B) = 2 \sin (30)$

Passaggio 13.2.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\sin (B) = 2 (\frac{1}{2})$

Passaggio 13.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (B) = 2 (\frac{1}{2})$

Passaggio 13.2.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (B) = 1$

Passaggio 13.3

Trova il valore dell'incognita $B$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$B = \arcsin (1)$

Passaggio 13.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (1)$ è $90$ .

$B = 90$

Passaggio 13.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$B = 180 - 90$

Passaggio 13.6

Sottrai $90$ da $180$ .

$B = 90$

Passaggio 13.7

La soluzione dell'equazione $B = 90$ .

$B = 90, 90$

Passaggio 14

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$30 + C + 90 = 180$

Passaggio 15

Risolvi l'equazione per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Somma $30$ e $90$ .

$C + 120 = 180$

Passaggio 15.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Sottrai $120$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 180 - 120$

Passaggio 15.2.2

Sottrai $120$ da $180$ .

$C = 60$

Passaggio 16

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 17

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $c$ .

$\frac{\sin (60)}{c} = \frac{\sin (30)}{7}$

Passaggio 18

Risolvi l'equazione per $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.1

Il valore esatto di $\sin (60)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{c} = \frac{\sin (30)}{7}$

Passaggio 18.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{c} = \frac{\sin (30)}{7}$

Passaggio 18.1.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $\frac{1}{c}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{\sin (30)}{7}$

Passaggio 18.1.4

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{\frac{1}{2}}{7}$

Passaggio 18.1.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7}$

Passaggio 18.1.6

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.6.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{7}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{2 \cdot 7}$

Passaggio 18.1.6.2

Moltiplica $2$ per $7$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{14}$

Passaggio 18.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$2 c, 14$

Passaggio 18.2.2

Since $2 c, 14$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 14$ then find LCM for the variable part $c^{1}$ .

Passaggio 18.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 18.2.4

Poiché $2$ non presenta fattori eccetto $1$ e $2$ .

$2$ è un numero primo

Passaggio 18.2.5

$14$ presenta fattori di $2$ e $7$ .

$2 \cdot 7$

Passaggio 18.2.6

Moltiplica $2$ per $7$ .

$14$

Passaggio 18.2.7

Il fattore di $c^{1}$ è $c$ stesso.

$c^{1} = c$

$c$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 18.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $c^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$c$

Passaggio 18.2.9

Il minimo comune multiplo di $2 c, 14$ è la parte numerica $14$ moltiplicata per la parte variabile.

$14 c$

Passaggio 18.3

Moltiplica per $14 c$ ciascun termine in $\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{14}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{14}$ per $14 c$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} (14 c) = \frac{1}{14} (14 c)$

Passaggio 18.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$14 \frac{\sqrt{3}}{2 c} c = \frac{1}{14} (14 c)$

Passaggio 18.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $14$ .

$2 (7) \frac{\sqrt{3}}{2 c} c = \frac{1}{14} (14 c)$

Passaggio 18.3.2.2.2

Scomponi $2$ da $2 c$ .

$2 (7) \frac{\sqrt{3}}{2 (c)} c = \frac{1}{14} (14 c)$

Passaggio 18.3.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 7 \frac{\sqrt{3}}{2 c} c = \frac{1}{14} (14 c)$

Passaggio 18.3.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$7 \frac{\sqrt{3}}{c} c = \frac{1}{14} (14 c)$

Passaggio 18.3.2.3

$7$ e $\frac{\sqrt{3}}{c}$ .

$\frac{7 \sqrt{3}}{c} c = \frac{1}{14} (14 c)$

Passaggio 18.3.2.4

Elimina il fattore comune di $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 \sqrt{3}}{c} c = \frac{1}{14} (14 c)$

Passaggio 18.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$7 \sqrt{3} = \frac{1}{14} (14 c)$

Passaggio 18.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.3.1

Elimina il fattore comune di $14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.3.1.1

Scomponi $14$ da $14 c$ .

$7 \sqrt{3} = \frac{1}{14} (14 (c))$

Passaggio 18.3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$7 \sqrt{3} = \frac{1}{14} (14 c)$

Passaggio 18.3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$7 \sqrt{3} = c$

Passaggio 18.4

Riscrivi l'equazione come $c = 7 \sqrt{3}$ .

$c = 7 \sqrt{3}$

Passaggio 19

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

Combinazione primo triangolo:

$A = 30$

$B = 90$

$C = 60$

$a = 7$

$b = 14$

$c = 7 \sqrt{3}$

Combinazione secondo triangolo:

$A = 30$

$B = 90$

$C = 60$

$a = 7$

$b = 14$

$c = 7 \sqrt{3}$