Trigonometria Esempi

$a = 8$ , $c = 13$ , $B = 150$

Passaggio 1

Usa la legge dei coseni per trovare il lato sconosciuto del triangolo, dati gli altri due lati e l'angolo incluso.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione.

$b = \sqrt{a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti nell'equazione.

$b = \sqrt{{(8)}^{2} + {(13)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 13 \cos (150)}$

Passaggio 4

Semplifica i risultati.

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Passaggio 4.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$b = \sqrt{64 + {(13)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot (13 \cos (150))}$

Passaggio 4.2

Eleva $13$ alla potenza di $2$ .

$b = \sqrt{64 + 169 - 2 \cdot 8 \cdot (13 \cos (150))}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 2 \cdot 8 \cdot 13$ .

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 2$ per $8$ .

$b = \sqrt{64 + 169 - 16 \cdot (13 \cos (150))}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $- 16$ per $13$ .

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 \cos (150)}$

Passaggio 4.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 (- \cos (30))}$

Passaggio 4.5

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 (- \frac{\sqrt{3}}{2})}$

Passaggio 4.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.6.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

Passaggio 4.6.2

Scomponi $2$ da $- 208$ .

$b = \sqrt{64 + 169 + 2 (- 104) (\frac{- \sqrt{3}}{2})}$

Passaggio 4.6.3

Elimina il fattore comune.

$b = \sqrt{64 + 169 + 2 \cdot (- 104 \frac{- \sqrt{3}}{2})}$

Passaggio 4.6.4

Riscrivi l'espressione.

$b = \sqrt{64 + 169 - 104 (- \sqrt{3})}$

Passaggio 4.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 104$ .

$b = \sqrt{64 + 169 + 104 \sqrt{3}}$

Passaggio 4.7.2

Somma $64$ e $169$ .

$b = \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}$

Passaggio 5

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 6

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $A$ .

$\frac{\sin (A)}{8} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione per $A$ .

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Passaggio 7.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $8$ .

$8 \frac{\sin (A)}{8} = 8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$8 \frac{\sin (A)}{8} = 8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Passaggio 7.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (A) = 8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.2.2.1

Semplifica $8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$ .

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Passaggio 7.2.2.1.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.2.2.1.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\sin (A) = 8 \frac{\sin (30)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Passaggio 7.2.2.1.1.2

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = 8 \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Passaggio 7.2.2.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sin (A) = 8 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}})$

Passaggio 7.2.2.1.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = 8 \frac{1}{2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Passaggio 7.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.2.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\sin (A) = 2 (4) \frac{1}{2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Passaggio 7.2.2.1.4.2

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = 2 (4) \frac{1}{2 (\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}})}$

Passaggio 7.2.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$\sin (A) = 2 \cdot 4 \frac{1}{2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Passaggio 7.2.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\sin (A) = 4 \frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Passaggio 7.2.2.1.5

$4$ e $\frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = \frac{4}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Passaggio 7.3

Trova il valore dell'incognita $A$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$A = \arcsin (\frac{4}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}})$

Passaggio 7.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.4.1

Calcola $\arcsin (\frac{4}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}})$ .

$A = 11.34962381$

Passaggio 7.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$A = 180 - 11.34962381$

Passaggio 7.6

Sottrai $11.34962381$ da $180$ .

$A = 168.65037618$

Passaggio 7.7

La soluzione dell'equazione $A = 11.34962381$ .

$A = 11.34962381, 168.65037618$

Passaggio 7.8

Escludi il triangolo non valido.

$A = 11.34962381$

Passaggio 8

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$11.34962381 + C + 150 = 180$

Passaggio 9

Risolvi l'equazione per $C$ .

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Passaggio 9.1

Somma $11.34962381$ e $150$ .

$C + 161.34962381 = 180$

Passaggio 9.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 9.2.1

Sottrai $161.34962381$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 180 - 161.34962381$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $161.34962381$ da $180$ .

$C = 18.65037618$

Passaggio 10

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

$A = 11.34962381$

$B = 150$

$C = 18.65037618$

$a = 8$

$b = \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}$

$c = 13$