Trigonometria Esempi

$B = 85$ , $C = 15$ , $b = 40$

Passaggio 1

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 2

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $c$ .

$\frac{\sin (15)}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione per $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Il valore esatto di $\sin (15)$ è $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Dividi $15$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$\frac{\sin (45 - 30)}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Passaggio 3.1.1.2

Negazione separata.

$\frac{\sin (45 - (30))}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Passaggio 3.1.1.3

Applica le formule di sottrazione degli angoli.

$\frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Passaggio 3.1.1.4

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Passaggio 3.1.1.5

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Passaggio 3.1.1.6

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Passaggio 3.1.1.7

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Passaggio 3.1.1.8

Semplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.8.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.8.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Passaggio 3.1.1.8.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Passaggio 3.1.1.8.1.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Passaggio 3.1.1.8.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Passaggio 3.1.1.8.1.2

Moltiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.8.1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Passaggio 3.1.1.8.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Passaggio 3.1.1.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ per $\frac{1}{c}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Passaggio 3.1.4

Calcola $\sin (85)$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} = \frac{0.99619469}{40}$

Passaggio 3.1.5

Dividi $0.99619469$ per $40$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} = 0.02490486$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$4 c, 1$

Passaggio 3.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$4 c$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $4 c$ ciascun termine in $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} = 0.02490486$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} = 0.02490486$ per $4 c$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} (4 c) = 0.02490486 (4 c)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} c = 0.02490486 (4 c)$

Passaggio 3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $4 c$ .

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 (c)} c = 0.02490486 (4 c)$

Passaggio 3.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} c = 0.02490486 (4 c)$

Passaggio 3.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{c} c = 0.02490486 (4 c)$

Passaggio 3.3.2.3

Elimina il fattore comune di $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{c} c = 0.02490486 (4 c)$

Passaggio 3.3.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{6} - \sqrt{2} = 0.02490486 (4 c)$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Moltiplica $4$ per $0.02490486$ .

$\sqrt{6} - \sqrt{2} = 0.09961946 c$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $0.09961946 c = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ .

$0.09961946 c = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

Passaggio 3.4.2

Dividi per $0.09961946$ ciascun termine in $0.09961946 c = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Dividi per $0.09961946$ ciascun termine in $0.09961946 c = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ .

$\frac{0.09961946 c}{0.09961946} = \frac{\sqrt{6}}{0.09961946} + \frac{- \sqrt{2}}{0.09961946}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $0.09961946$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.09961946 c}{0.09961946} = \frac{\sqrt{6}}{0.09961946} + \frac{- \sqrt{2}}{0.09961946}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Dividi $c$ per $1$ .

$c = \frac{\sqrt{6}}{0.09961946} + \frac{- \sqrt{2}}{0.09961946}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1.1

Calcola la radice.

$c = \frac{2.44948974}{0.09961946} + \frac{- \sqrt{2}}{0.09961946}$

Passaggio 3.4.2.3.1.2

Dividi $2.44948974$ per $0.09961946$ .

$c = 24.58846395 + \frac{- \sqrt{2}}{0.09961946}$

Passaggio 3.4.2.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$c = 24.58846395 - \frac{\sqrt{2}}{0.09961946}$

Passaggio 3.4.2.3.1.4

Calcola la radice.

$c = 24.58846395 - \frac{1.41421356}{0.09961946}$

Passaggio 3.4.2.3.1.5

Dividi $1.41421356$ per $0.09961946$ .

$c = 24.58846395 - 1 \cdot 14.19615628$

Passaggio 3.4.2.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $14.19615628$ .

$c = 24.58846395 - 14.19615628$

Passaggio 3.4.2.3.2

Sottrai $14.19615628$ da $24.58846395$ .

$c = 10.39230767$

Passaggio 4

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$A + 15 + 85 = 180$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per $A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Somma $15$ e $85$ .

$A + 100 = 180$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $A$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $100$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 180 - 100$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $100$ da $180$ .

$A = 80$

Passaggio 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 7

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $a$ .

$\frac{\sin (80)}{a} = \frac{\sin (85)}{40}$

Passaggio 8

Risolvi l'equazione per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Calcola $\sin (80)$ .

$\frac{0.98480775}{a} = \frac{\sin (85)}{40}$

Passaggio 8.1.2

Calcola $\sin (85)$ .

$\frac{0.98480775}{a} = \frac{0.99619469}{40}$

Passaggio 8.1.3

Dividi $0.99619469$ per $40$ .

$\frac{0.98480775}{a} = 0.02490486$

Passaggio 8.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$a, 1$

Passaggio 8.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$a$

Passaggio 8.3

Moltiplica per $a$ ciascun termine in $\frac{0.98480775}{a} = 0.02490486$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{0.98480775}{a} = 0.02490486$ per $a$ .

$\frac{0.98480775}{a} a = 0.02490486 a$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Elimina il fattore comune di $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.98480775}{a} a = 0.02490486 a$

Passaggio 8.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$0.98480775 = 0.02490486 a$

Passaggio 8.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Riscrivi l'equazione come $0.02490486 a = 0.98480775$ .

$0.02490486 a = 0.98480775$

Passaggio 8.4.2

Dividi per $0.02490486$ ciascun termine in $0.02490486 a = 0.98480775$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1

Dividi per $0.02490486$ ciascun termine in $0.02490486 a = 0.98480775$ .

$\frac{0.02490486 a}{0.02490486} = \frac{0.98480775}{0.02490486}$

Passaggio 8.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $0.02490486$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.02490486 a}{0.02490486} = \frac{0.98480775}{0.02490486}$

Passaggio 8.4.2.2.1.2

Dividi $a$ per $1$ .

$a = \frac{0.98480775}{0.02490486}$

Passaggio 8.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.3.1

Dividi $0.98480775$ per $0.02490486$ .

$a = 39.54278234$

Passaggio 9

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

$A = 80$

$B = 85$

$C = 15$

$a = 39.54278234$

$b = 40$

$c = 10.39230767$