Trigonometria Esempi

$A = 45$ , $B = 52$ , $a = 15$

Passaggio 1

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 2

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $b$ .

$\frac{\sin (52)}{b} = \frac{\sin (45)}{15}$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione per $b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Calcola $\sin (52)$ .

$\frac{0.78801075}{b} = \frac{\sin (45)}{15}$

Passaggio 3.1.2

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.78801075}{b} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{15}$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{0.78801075}{b} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{15}$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{15}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{15}$ .

$\frac{0.78801075}{b} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 15}$

Passaggio 3.1.4.2

Moltiplica $2$ per $15$ .

$\frac{0.78801075}{b} = \frac{\sqrt{2}}{30}$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$b, 30$

Passaggio 3.2.2

Since $b, 30$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 30$ then find LCM for the variable part $b^{1}$ .

Passaggio 3.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 3.2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.2.5

I fattori primi per $30$ sono $2 \cdot 3 \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

$30$ presenta fattori di $2$ e $15$ .

$2 \cdot 15$

Passaggio 3.2.5.2

$15$ presenta fattori di $3$ e $5$ .

$2 \cdot 3 \cdot 5$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $2 \cdot 3 \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 \cdot 5$

Passaggio 3.2.6.2

Moltiplica $6$ per $5$ .

$30$

Passaggio 3.2.7

Il fattore di $b^{1}$ è $b$ stesso.

$b^{1} = b$

$b$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 3.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $b^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$b$

Passaggio 3.2.9

Il minimo comune multiplo di $b, 30$ è la parte numerica $30$ moltiplicata per la parte variabile.

$30 b$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $30 b$ ciascun termine in $\frac{0.78801075}{b} = \frac{\sqrt{2}}{30}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{0.78801075}{b} = \frac{\sqrt{2}}{30}$ per $30 b$ .

$\frac{0.78801075}{b} (30 b) = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$30 \frac{0.78801075}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $30 \frac{0.78801075}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

$30$ e $\frac{0.78801075}{b}$ .

$\frac{30 \cdot 0.78801075}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

Passaggio 3.3.2.2.2

Moltiplica $30$ per $0.78801075$ .

$\frac{23.6403226}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

Passaggio 3.3.2.3

Elimina il fattore comune di $b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{23.6403226}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

Passaggio 3.3.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$23.6403226 = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Elimina il fattore comune di $30$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Scomponi $30$ da $30 b$ .

$23.6403226 = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 (b))$

Passaggio 3.3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$23.6403226 = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

Passaggio 3.3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$23.6403226 = \sqrt{2} b$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{2} b = 23.6403226$ .

$\sqrt{2} b = 23.6403226$

Passaggio 3.4.2

Dividi per $\sqrt{2}$ ciascun termine in $\sqrt{2} b = 23.6403226$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Dividi per $\sqrt{2}$ ciascun termine in $\sqrt{2} b = 23.6403226$ .

$\frac{\sqrt{2} b}{\sqrt{2}} = \frac{23.6403226}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $\sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{2} b}{\sqrt{2}} = \frac{23.6403226}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Dividi $b$ per $1$ .

$b = \frac{23.6403226}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Moltiplica $\frac{23.6403226}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$b = \frac{23.6403226}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.4.2.3.2

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{23.6403226}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 3.4.2.3.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 3.4.2.3.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 3.4.2.3.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.4.2.3.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 3.4.2.3.2.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.4.2.3.2.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.4.2.3.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.2.3.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.2.3.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 3.4.2.3.2.6.5

Calcola l'esponente.

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.4.2.3.3

Moltiplica $23.6403226$ per $\sqrt{2}$ .

$b = \frac{33.43246485}{2}$

Passaggio 3.4.2.3.4

Dividi $33.43246485$ per $2$ .

$b = 16.71623242$

Passaggio 4

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$45 + C + 52 = 180$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Somma $45$ e $52$ .

$C + 97 = 180$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $97$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 180 - 97$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $97$ da $180$ .

$C = 83$

Passaggio 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 7

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $c$ .

$\frac{\sin (83)}{c} = \frac{\sin (45)}{15}$

Passaggio 8

Risolvi l'equazione per $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Calcola $\sin (83)$ .

$\frac{0.99254615}{c} = \frac{\sin (45)}{15}$

Passaggio 8.1.2

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.99254615}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{15}$

Passaggio 8.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{0.99254615}{c} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{15}$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{15}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.4.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{15}$ .

$\frac{0.99254615}{c} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 15}$

Passaggio 8.1.4.2

Moltiplica $2$ per $15$ .

$\frac{0.99254615}{c} = \frac{\sqrt{2}}{30}$

Passaggio 8.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$c, 30$

Passaggio 8.2.2

Since $c, 30$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 30$ then find LCM for the variable part $c^{1}$ .

Passaggio 8.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 8.2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 8.2.5

I fattori primi per $30$ sono $2 \cdot 3 \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.5.1

$30$ presenta fattori di $2$ e $15$ .

$2 \cdot 15$

Passaggio 8.2.5.2

$15$ presenta fattori di $3$ e $5$ .

$2 \cdot 3 \cdot 5$

Passaggio 8.2.6

Moltiplica $2 \cdot 3 \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.6.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 \cdot 5$

Passaggio 8.2.6.2

Moltiplica $6$ per $5$ .

$30$

Passaggio 8.2.7

Il fattore di $c^{1}$ è $c$ stesso.

$c^{1} = c$

$c$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 8.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $c^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$c$

Passaggio 8.2.9

Il minimo comune multiplo di $c, 30$ è la parte numerica $30$ moltiplicata per la parte variabile.

$30 c$

Passaggio 8.3

Moltiplica per $30 c$ ciascun termine in $\frac{0.99254615}{c} = \frac{\sqrt{2}}{30}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{0.99254615}{c} = \frac{\sqrt{2}}{30}$ per $30 c$ .

$\frac{0.99254615}{c} (30 c) = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 c)$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$30 \frac{0.99254615}{c} c = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 c)$

Passaggio 8.3.2.2

Moltiplica $30 \frac{0.99254615}{c}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.2.1

$30$ e $\frac{0.99254615}{c}$ .

$\frac{30 \cdot 0.99254615}{c} c = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 c)$

Passaggio 8.3.2.2.2

Moltiplica $30$ per $0.99254615$ .

$\frac{29.77638454}{c} c = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 c)$

Passaggio 8.3.2.3

Elimina il fattore comune di $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{29.77638454}{c} c = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 c)$

Passaggio 8.3.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$29.77638454 = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 c)$

Passaggio 8.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Elimina il fattore comune di $30$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1.1

Scomponi $30$ da $30 c$ .

$29.77638454 = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 (c))$

Passaggio 8.3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$29.77638454 = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 c)$

Passaggio 8.3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$29.77638454 = \sqrt{2} c$

Passaggio 8.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{2} c = 29.77638454$ .

$\sqrt{2} c = 29.77638454$

Passaggio 8.4.2

Dividi per $\sqrt{2}$ ciascun termine in $\sqrt{2} c = 29.77638454$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1

Dividi per $\sqrt{2}$ ciascun termine in $\sqrt{2} c = 29.77638454$ .

$\frac{\sqrt{2} c}{\sqrt{2}} = \frac{29.77638454}{\sqrt{2}}$

Passaggio 8.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $\sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{2} c}{\sqrt{2}} = \frac{29.77638454}{\sqrt{2}}$

Passaggio 8.4.2.2.1.2

Dividi $c$ per $1$ .

$c = \frac{29.77638454}{\sqrt{2}}$

Passaggio 8.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.3.1

Moltiplica $\frac{29.77638454}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$c = \frac{29.77638454}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 8.4.2.3.2

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{29.77638454}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 8.4.2.3.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 8.4.2.3.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 8.4.2.3.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 8.4.2.3.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 8.4.2.3.2.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 8.4.2.3.2.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 8.4.2.3.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.4.2.3.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.3.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.4.2.3.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 8.4.2.3.2.6.5

Calcola l'esponente.

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 8.4.2.3.3

Moltiplica $29.77638454$ per $\sqrt{2}$ .

$c = \frac{42.11016686}{2}$

Passaggio 8.4.2.3.4

Dividi $42.11016686$ per $2$ .

$c = 21.05508343$

Passaggio 9

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

$A = 45$

$B = 52$

$C = 83$

$a = 15$

$b = 16.71623242$

$c = 21.05508343$