Trigonometria Esempi

$\cos (4 x)$

Passaggio 1

Per espandere $\cos (4 x)$ un buon metodo è la formula di de Moivre $(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ . Quando $r = 1$ , $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ .

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

Passaggio 2

Espandi il lato destro di $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ usando il teorema binomiale.

Espandi: ${(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{4}$

Passaggio 3

Usa il teorema binomiale.

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) (i \sin (x)) + 6 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{2} + 4 \cos (x) {(i \sin (x))}^{3} + {(i \sin (x))}^{4}$

Passaggio 4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la regola del prodotto a $i \sin (x)$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) + 6 \cos^{2} (x) (i^{2} \sin^{2} (x)) + 4 \cos (x) {(i \sin (x))}^{3} + {(i \sin (x))}^{4}$

Passaggio 4.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) + 6 \cdot i^{2} \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + 4 \cos (x) {(i \sin (x))}^{3} + {(i \sin (x))}^{4}$

Passaggio 4.1.3

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) + 6 \cdot - 1 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + 4 \cos (x) {(i \sin (x))}^{3} + {(i \sin (x))}^{4}$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + 4 \cos (x) {(i \sin (x))}^{3} + {(i \sin (x))}^{4}$

Passaggio 4.1.5

Applica la regola del prodotto a $i \sin (x)$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + 4 \cos (x) (i^{3} \sin^{3} (x)) + {(i \sin (x))}^{4}$

Passaggio 4.1.6

Metti in evidenza $i^{2}$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + 4 \cos (x) (i^{2} \cdot i \sin^{3} (x)) + {(i \sin (x))}^{4}$

Passaggio 4.1.7

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + 4 \cos (x) (- 1 \cdot i \sin^{3} (x)) + {(i \sin (x))}^{4}$

Passaggio 4.1.8

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + 4 \cos (x) (- i \sin^{3} (x)) + {(i \sin (x))}^{4}$

Passaggio 4.1.9

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) (i \sin^{3} (x)) + {(i \sin (x))}^{4}$

Passaggio 4.1.10

Applica la regola del prodotto a $i \sin (x)$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) i \sin^{3} (x) + i^{4} \sin^{4} (x)$

Passaggio 4.1.11

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.11.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) i \sin^{3} (x) + {(i^{2})}^{2} \sin^{4} (x)$

Passaggio 4.1.11.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) i \sin^{3} (x) + {(- 1)}^{2} \sin^{4} (x)$

Passaggio 4.1.11.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) i \sin^{3} (x) + 1 \sin^{4} (x)$

Passaggio 4.1.12

Moltiplica $\sin^{4} (x)$ per $1$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) i \sin^{3} (x) + \sin^{4} (x)$

Passaggio 4.2

Riordina i fattori in $\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) i \sin^{3} (x) + \sin^{4} (x)$ .

$\cos^{4} (x) + 4 i \cos^{3} (x) \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 i \cos (x) \sin^{3} (x) + \sin^{4} (x)$

Passaggio 5

Estrai le espressioni con la parte immaginaria, che sono uguali a $\cos (4 x)$ . Rimuovi il numero immaginario $i$ .

$\cos (4 x) = \cos^{4} (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \sin^{4} (x)$