Trigonometria Esempi

${(3 (\cos (15) + i \sin (15)))}^{3}$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Il valore esatto di $\cos (15)$ è $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Passaggio 1.1.1

Dividi $15$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

${(3 (\cos (45 - 30) + i \sin (15)))}^{3}$

Passaggio 1.1.2

Negazione separata.

${(3 (\cos (45 - (30)) + i \sin (15)))}^{3}$

Passaggio 1.1.3

Applica le formule di sottrazione degli angoli $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

${(3 (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30) + i \sin (15)))}^{3}$

Passaggio 1.1.4

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30) + i \sin (15)))}^{3}$

Passaggio 1.1.5

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30) + i \sin (15)))}^{3}$

Passaggio 1.1.6

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30) + i \sin (15)))}^{3}$

Passaggio 1.1.7

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15)))}^{3}$

Passaggio 1.1.8

Semplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15)))}^{3}$

Passaggio 1.1.8.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

${(3 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15)))}^{3}$

Passaggio 1.1.8.1.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15)))}^{3}$

Passaggio 1.1.8.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15)))}^{3}$

Passaggio 1.1.8.1.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 1.1.8.1.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + i \sin (15)))}^{3}$

Passaggio 1.1.8.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + i \sin (15)))}^{3}$

Passaggio 1.1.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \sin (15)))}^{3}$

Passaggio 1.2

Il valore esatto di $\sin (15)$ è $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Passaggio 1.2.1

Dividi $15$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \sin (45 - 30)))}^{3}$

Passaggio 1.2.2

Negazione separata.

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \sin (45 - (30))))}^{3}$

Passaggio 1.2.3

Applica le formule di sottrazione degli angoli.

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30))))}^{3}$

Passaggio 1.2.4

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30))))}^{3}$

Passaggio 1.2.5

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30))))}^{3}$

Passaggio 1.2.6

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))))}^{3}$

Passaggio 1.2.7

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{3}$

Passaggio 1.2.8

Semplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 1.2.8.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.8.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Passaggio 1.2.8.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{3}$

Passaggio 1.2.8.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{3}$

Passaggio 1.2.8.1.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{3}$

Passaggio 1.2.8.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{3}$

Passaggio 1.2.8.1.2

Moltiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 1.2.8.1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})))}^{3}$

Passaggio 1.2.8.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})))}^{3}$

Passaggio 1.2.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}))}^{3}$

Passaggio 1.3

$i$ e $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{i (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}))}^{3}$

Passaggio 2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(3 \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}}{4})}^{3}$

Passaggio 2.2

$3$ e $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}}{4}$ .

${(\frac{3 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4})}^{3}$

Passaggio 3

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4}$ .

$\frac{{(3 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}))}^{3}}{4^{3}}$

Passaggio 3.2

Applica la regola del prodotto a $3 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})$ .

$\frac{3^{3} {(\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}^{3}}{4^{3}}$

Passaggio 4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{27 {(\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}^{3}}{4^{3}}$

Passaggio 5

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$\frac{27 {(\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}^{3}}{64}$