Trigonometria Esempi

${(2 - 2 i)}^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi ${(2 - 2 i)}^{2}$ come $(2 - 2 i) (2 - 2 i)$ .

$(2 - 2 i) (2 - 2 i)$

Passaggio 2

Espandi $(2 - 2 i) (2 - 2 i)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (2 - 2 i) - 2 i (2 - 2 i)$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cdot 2 + 2 (- 2 i) - 2 i (2 - 2 i)$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cdot 2 + 2 (- 2 i) - 2 i \cdot 2 - 2 i (- 2 i)$

Passaggio 3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 + 2 (- 2 i) - 2 i \cdot 2 - 2 i (- 2 i)$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$4 - 4 i - 2 i \cdot 2 - 2 i (- 2 i)$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$4 - 4 i - 4 i - 2 i (- 2 i)$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $- 2 i (- 2 i)$ .

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Passaggio 3.1.4.1

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$4 - 4 i - 4 i + 4 i i$

Passaggio 3.1.4.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$4 - 4 i - 4 i + 4 (i^{1} i)$

Passaggio 3.1.4.3

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$4 - 4 i - 4 i + 4 (i^{1} i^{1})$

Passaggio 3.1.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 - 4 i - 4 i + 4 i^{1 + 1}$

Passaggio 3.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$4 - 4 i - 4 i + 4 i^{2}$

Passaggio 3.1.5

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$4 - 4 i - 4 i + 4 \cdot - 1$

Passaggio 3.1.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$4 - 4 i - 4 i - 4$

Passaggio 3.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$0 - 4 i - 4 i$

Passaggio 3.3

Sottrai $4 i$ da $0$ .

$- 4 i - 4 i$

Passaggio 3.4

Sottrai $4 i$ da $- 4 i$ .

$- 8 i$

Passaggio 4

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 5

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 6

Sostituisci i valori effettivi di $a = 0$ e $b = - 8$ .

$| z | = \sqrt{{(- 8)}^{2}}$

Passaggio 7

Trova $| z |$ .

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Passaggio 7.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Passaggio 7.2

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Passaggio 7.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| z | = 8$

Passaggio 8

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{- 8}{0})$

Passaggio 9

Poiché l'argomento è indefinito e $b$ è negativo, l'angolo del punto sul piano complesso è $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 10

Sostituisci i valori di $θ = \frac{3 π}{2}$ e $| z | = 8$ .

$8 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$