Trigonometria Esempi

${(1 + i)}^{8}$

Passaggio 1

Usa il teorema binomiale.

$1^{8} + 8 \cdot 1^{7} i + 28 \cdot 1^{6} i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 8 \cdot 1^{7} i + 28 \cdot 1^{6} i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 8 \cdot 1 i + 28 \cdot 1^{6} i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$1 + 8 i + 28 \cdot 1^{6} i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 8 i + 28 \cdot 1 i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.5

Moltiplica $28$ per $1$ .

$1 + 8 i + 28 i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 8 i + 28 \cdot - 1 + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.7

Moltiplica $28$ per $- 1$ .

$1 + 8 i - 28 + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 8 i - 28 + 56 \cdot 1 i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.9

Moltiplica $56$ per $1$ .

$1 + 8 i - 28 + 56 i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.10

Metti in evidenza $i^{2}$ .

$1 + 8 i - 28 + 56 (i^{2} \cdot i) + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.11

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 8 i - 28 + 56 (- 1 \cdot i) + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.12

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$1 + 8 i - 28 + 56 (- i) + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.13

Moltiplica $- 1$ per $56$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.14

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 \cdot 1 i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.15

Moltiplica $70$ per $1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.16

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.16.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 {(i^{2})}^{2} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.16.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 {(- 1)}^{2} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.16.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 \cdot 1 + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.17

Moltiplica $70$ per $1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.18

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 \cdot 1 i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.19

Moltiplica $56$ per $1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.20

Metti in evidenza $i^{4}$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 (i^{4} i) + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.21

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.21.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 ({(i^{2})}^{2} i) + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.21.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 ({(- 1)}^{2} i) + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.21.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 (1 i) + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.22

Moltiplica $i$ per $1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.23

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 \cdot 1 i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.24

Moltiplica $28$ per $1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.25

Metti in evidenza $i^{4}$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 (i^{4} i^{2}) + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.26

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.26.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 ({(i^{2})}^{2} i^{2}) + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.26.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.26.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 (1 i^{2}) + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.27

Moltiplica $i^{2}$ per $1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 i^{2} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.28

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 \cdot - 1 + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.29

Moltiplica $28$ per $- 1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.30

Moltiplica $8$ per $1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 i^{7} + i^{8}$

Passaggio 2.1.31

Riscrivi $i^{7}$ come $i^{4} (i^{2} \cdot i)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.31.1

Metti in evidenza $i^{4}$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (i^{4} i^{3}) + i^{8}$

Passaggio 2.1.31.2

Metti in evidenza $i^{2}$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (i^{4} (i^{2} \cdot i)) + i^{8}$

Passaggio 2.1.32

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.32.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 ({(i^{2})}^{2} (i^{2} \cdot i)) + i^{8}$

Passaggio 2.1.32.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 ({(- 1)}^{2} (i^{2} \cdot i)) + i^{8}$

Passaggio 2.1.32.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (1 (i^{2} \cdot i)) + i^{8}$

Passaggio 2.1.33

Moltiplica $i^{2} \cdot i$ per $1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (i^{2} \cdot i) + i^{8}$

Passaggio 2.1.34

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (- 1 \cdot i) + i^{8}$

Passaggio 2.1.35

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (- i) + i^{8}$

Passaggio 2.1.36

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + i^{8}$

Passaggio 2.1.37

Riscrivi $i^{8}$ come ${(i^{4})}^{2}$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + {(i^{4})}^{2}$

Passaggio 2.1.38

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.38.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + {({(i^{2})}^{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.38.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + {({(- 1)}^{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.38.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + 1^{2}$

Passaggio 2.1.39

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + 1$

Passaggio 2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sottrai $28$ da $1$ .

$- 27 + 8 i - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + 1$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Somma $- 27$ e $70$ .

$43 + 8 i - 56 i + 56 i - 28 - 8 i + 1$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $28$ da $43$ .

$15 + 8 i - 56 i + 56 i - 8 i + 1$

Passaggio 2.2.2.3

Somma $15$ e $1$ .

$16 + 8 i - 56 i + 56 i - 8 i$

Passaggio 2.2.3

Sottrai $56 i$ da $8 i$ .

$16 - 48 i + 56 i - 8 i$

Passaggio 2.2.4

Somma $- 48 i$ e $56 i$ .

$16 + 8 i - 8 i$

Passaggio 2.2.5

Sottrai $8 i$ da $8 i$ .

$16 + 0$

Passaggio 2.2.6

Somma $16$ e $0$ .

$16$

Passaggio 3

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 4

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 5

Sostituisci i valori effettivi di $a = 16$ e $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + 16^{2}}$

Passaggio 6

Trova $| z |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + 16^{2}}$

Passaggio 6.2

Eleva $16$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 256}$

Passaggio 6.3

Somma $0$ e $256$ .

$| z | = \sqrt{256}$

Passaggio 6.4

Riscrivi $256$ come $16^{2}$ .

$| z | = \sqrt{16^{2}}$

Passaggio 6.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| z | = 16$

Passaggio 7

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{0}{16})$

Passaggio 8

Poiché l'inverso della tangente di $\frac{0}{16}$ produce un angolo nel primo quadrante, il valore dell'angolo è $0$ .

$θ = 0$

Passaggio 9

Sostituisci i valori di $θ = 0$ e $| z | = 16$ .

$16 (\cos (0) + i \sin (0))$