Trigonometria Esempi

${(1 + i)}^{3}$

Passaggio 1

Usa il teorema binomiale.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} i + 3 \cdot 1 i^{2} + i^{3}$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 3 \cdot 1^{2} i + 3 \cdot 1 i^{2} + i^{3}$

Passaggio 2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 3 \cdot 1 i + 3 \cdot 1 i^{2} + i^{3}$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$1 + 3 i + 3 \cdot 1 i^{2} + i^{3}$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$1 + 3 i + 3 i^{2} + i^{3}$

Passaggio 2.1.5

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 3 i + 3 \cdot - 1 + i^{3}$

Passaggio 2.1.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$1 + 3 i - 3 + i^{3}$

Passaggio 2.1.7

Metti in evidenza $i^{2}$ .

$1 + 3 i - 3 + i^{2} \cdot i$

Passaggio 2.1.8

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 3 i - 3 - 1 \cdot i$

Passaggio 2.1.9

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$1 + 3 i - 3 - i$

Passaggio 2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sottrai $3$ da $1$ .

$- 2 + 3 i - i$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $i$ da $3 i$ .

$- 2 + 2 i$

Passaggio 3

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 4

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 5

Sostituisci i valori effettivi di $a = - 2$ e $b = 2$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 6

Trova $| z |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{4 + {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{4 + 4}$

Passaggio 6.3

Somma $4$ e $4$ .

$| z | = \sqrt{8}$

Passaggio 6.4

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$| z | = \sqrt{4 (2)}$

Passaggio 6.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Passaggio 6.5

Estrai i termini dal radicale.

$| z | = 2 \sqrt{2}$

Passaggio 7

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{2}{- 2})$

Passaggio 8

Poiché l'inverso della tangente di $\frac{2}{- 2}$ produce un angolo nel secondo quadrante, il valore dell'angolo è $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 9

Sostituisci i valori di $θ = \frac{3 π}{4}$ e $| z | = 2 \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$