Trigonometria Esempi

$f (x) = 9 x^{2} - 1$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 9 x^{2} - 1$ come un'equazione.

$y = 9 x^{2} - 1$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 9 y^{2} - 1$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $9 y^{2} - 1 = x$ .

$9 y^{2} - 1 = x$

Passaggio 3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 y^{2} = x + 1$

Passaggio 3.3

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 y^{2} = x + 1$ e semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 y^{2} = x + 1$ .

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{x}{9} + \frac{1}{9}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

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Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{x}{9} + \frac{1}{9}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{9} + \frac{1}{9}$

Passaggio 3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{9} + \frac{1}{9}}$

Passaggio 3.5

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{x}{9} + \frac{1}{9}}$ .

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Passaggio 3.5.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 1}{9}}$

Passaggio 3.5.2

Riscrivi $\frac{x + 1}{9}$ come ${(\frac{1}{3})}^{2} (x + 1)$ .

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Passaggio 3.5.2.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $x + 1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x + 1)}{9}}$

Passaggio 3.5.2.2

Scomponi la potenza perfetta $3^{2}$ su $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x + 1)}{3^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 3.5.2.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} (x + 1)}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (x + 1)}$

Passaggio 3.5.3

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{x + 1}$

Passaggio 3.5.4

$\frac{1}{3}$ e $\sqrt{x + 1}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

Passaggio 3.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

Passaggio 3.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

Passaggio 3.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$ è l'inverso di $f (x) = 9 x^{2} - 1$ .

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Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = 9 x^{2} - 1$ e $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (x) = 9 x^{2} - 1$ .

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Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[- 1, \infty)$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $\frac{\sqrt{x + 1}}{3}$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x + 1}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x + 1 \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq - 1$

Passaggio 5.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[- 1, \infty)$

Passaggio 5.4

Trova il dominio di $f (x) = 9 x^{2} - 1$ .

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Passaggio 5.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$ è l'intervallo di $f (x) = 9 x^{2} - 1$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$ è il dominio di $f (x) = 9 x^{2} - 1$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$ è l'inverso di $f (x) = 9 x^{2} - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

Passaggio 6