Trigonometria Esempi

$f (x) = \sqrt[3]{4 x - 1}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \sqrt[3]{4 x - 1}$ come un'equazione.

$y = \sqrt[3]{4 x - 1}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \sqrt[3]{4 y - 1}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt[3]{4 y - 1} = x$ .

$\sqrt[3]{4 y - 1} = x$

Passaggio 3.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{4 y - 1}}^{3} = x^{3}$

Passaggio 3.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{4 y - 1}$ come ${(4 y - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(4 y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ${({(4 y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(4 y - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(4 y - 1)}^{1} = x^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica.

$4 y - 1 = x^{3}$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 y = x^{3} + 1$

Passaggio 3.4.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = x^{3} + 1$ e semplifica.

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Passaggio 3.4.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = x^{3} + 1$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt[3]{4 x - 1}$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{{(\sqrt[3]{4 x - 1})}^{3}}{4} + \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{{(\sqrt[3]{4 x - 1})}^{3} + 1}{4}$

Passaggio 5.2.4

Riscrivi ${\sqrt[3]{4 x - 1}}^{3}$ come $4 x - 1$ .

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Passaggio 5.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{4 x - 1}$ come ${(4 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{{({(4 x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 1}{4}$

Passaggio 5.2.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 1}{4}$

Passaggio 5.2.4.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{3}} + 1}{4}$

Passaggio 5.2.4.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.2.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{3}} + 1}{4}$

Passaggio 5.2.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{(4 x - 1) + 1}{4}$

Passaggio 5.2.4.5

Semplifica.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{4 x - 1 + 1}{4}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.2.5.1

Combina i termini opposti in $4 x - 1 + 1$ .

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Passaggio 5.2.5.1.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Passaggio 5.2.5.1.2

Somma $4 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{4 x}{4}$

Passaggio 5.2.5.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 5.2.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{4 x}{4}$

Passaggio 5.2.5.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{4 (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) - 1}$

Passaggio 5.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{4 (\frac{x^{3}}{4}) + 4 (\frac{1}{4}) - 1}$

Passaggio 5.3.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 5.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{4 (\frac{x^{3}}{4}) + 4 (\frac{1}{4}) - 1}$

Passaggio 5.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{x^{3} + 4 (\frac{1}{4}) - 1}$

Passaggio 5.3.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 5.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{x^{3} + 4 (\frac{1}{4}) - 1}$

Passaggio 5.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{x^{3} + 1 - 1}$

Passaggio 5.3.6

Semplifica sottraendo i numeri.

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Passaggio 5.3.6.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Passaggio 5.3.6.2

Somma $x^{3}$ e $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Passaggio 5.3.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt[3]{4 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$