Trigonometria Esempi

$f (x) = {\tan (2 x)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

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Passaggio 1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\sqrt{\tan^{1} (2 x)}$

Passaggio 1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\sqrt{\tan (2 x)}$

Passaggio 2

Imposta il radicando in $\sqrt{\tan (2 x)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\tan (2 x) \geq 0$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$2 x \geq \arctan (0)$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.1

Il valore esatto di $\arctan (0)$ è $0$ .

$2 x \geq 0$

Passaggio 3.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x \geq 0$ e semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x \geq 0$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{0}{2}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x \geq 0$

Passaggio 3.4

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$2 x = π + 0$

Passaggio 3.5

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.5.1

Somma $π$ e $0$ .

$2 x = π$

Passaggio 3.5.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = π$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Passaggio 3.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Passaggio 3.5.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 3.6

Trova il periodo di $\tan (2 x)$ .

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Passaggio 3.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 3.6.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 2 |}$

Passaggio 3.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{π}{2}$

Passaggio 3.7

Il periodo della funzione $\tan (2 x)$ è $\frac{π}{2}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{π}{2}$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{2} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.8

Consolida le risposte.

$x = \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.9

Trova il dominio di $\tan (2 x)$ .

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Passaggio 3.9.1

Imposta l'argomento in $\tan (2 x)$ in modo che sia uguale a $\frac{π}{2} + π n$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 x = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.9.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{2} + π n$ e semplifica.

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Passaggio 3.9.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{2} + π n$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Passaggio 3.9.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.9.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Passaggio 3.9.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Passaggio 3.9.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.9.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.9.2.3.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π n}{2}$

Passaggio 3.9.2.3.1.2

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.1.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2} + \frac{π n}{2}$

Passaggio 3.9.2.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

Passaggio 3.9.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

${x | x \neq \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}}$ $n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.10

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$0 < x < \frac{π}{4}$

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$

Passaggio 3.11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 3.11.1

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{π}{4}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 3.11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{π}{4}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.39$

Passaggio 3.11.1.2

Sostituisci $x$ con $0.39$ nella diseguaglianza originale.

$\tan (2 (0.39)) \geq 0$

Passaggio 3.11.1.3

Il lato sinistro di $0.98926153$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 3.11.2

Testa un valore sull'intervallo $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 3.11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1$

Passaggio 3.11.2.2

Sostituisci $x$ con $1$ nella diseguaglianza originale.

$\tan (2 (1)) \geq 0$

Passaggio 3.11.2.3

Il lato sinistro di $- 2.18503986$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 3.11.3

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$0 < x < \frac{π}{4}$ Vero

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ Falso

$0 < x < \frac{π}{4}$ Vero

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ Falso

Passaggio 3.12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 + \frac{π n}{2} \leq x < \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Imposta l'argomento in $\tan (2 x)$ in modo che sia uguale a $\frac{π}{2} + π n$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 x = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{2} + π n$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{2} + π n$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π n}{2}$

Passaggio 5.3.1.2

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2} + \frac{π n}{2}$

Passaggio 5.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

Passaggio 6

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione intensiva:

${x | x = 0 + \frac{π n}{2}, x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, x \neq \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}}$

Passaggio 7

Determina il dominio e l'intervallo.

Dominio: ${x | x = 0 + \frac{π n}{2}, x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, x \neq \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}}$

Intervallo:

Passaggio 8