Trigonometria Esempi

$\sin (x) > \cos (x)$

Passaggio 1

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} > \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 2

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\tan (x) > \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 3

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

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Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune.

$\tan (x) > \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 3.2

Riscrivi l'espressione.

$\tan (x) > 1$

Passaggio 4

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x > \arctan (1)$

Passaggio 5

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$x > \frac{π}{4}$

Passaggio 6

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Passaggio 7

Semplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Passaggio 7.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 7.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 7.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 7.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 7.3.2

Somma $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 8

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

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Passaggio 8.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 8.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 8.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 8.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 9

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$

Passaggio 11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 11.1

Testa un valore sull'intervallo $\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 11.1.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\sin (2) > \cos (2)$

Passaggio 11.1.3

Il lato sinistro di $0.90929742$ è maggiore del lato destro di $- 0.41614683$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 11.2

Testa un valore sull'intervallo $\frac{5 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{5 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 5$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci $x$ con $5$ nella diseguaglianza originale.

$\sin (5) > \cos (5)$

Passaggio 11.2.3

Il lato sinistro di $- 0.95892427$ non è maggiore del lato destro di $0.28366218$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 11.3

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ Vero

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ Falso

$\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ Vero

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ Falso

Passaggio 12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$\frac{π}{4} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 13

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(\frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n)$

Passaggio 14