Trigonometria Esempi

$\tan (3 x - \frac{π}{2}) > 1$

Passaggio 1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$3 x - \frac{π}{2} > \arctan (1)$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{2} > \frac{π}{4}$

Passaggio 3

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Aggiungi $\frac{π}{2}$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$3 x > \frac{π}{4} + \frac{π}{2}$

Passaggio 3.2

Per scrivere $\frac{π}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$3 x > \frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$3 x > \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$3 x > \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

Passaggio 3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 x > \frac{π + π \cdot 2}{4}$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$3 x > \frac{π + 2 \cdot π}{4}$

Passaggio 3.5.2

Somma $π$ e $2 π$ .

$3 x > \frac{3 π}{4}$

Passaggio 4

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x > \frac{3 π}{4}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x > \frac{3 π}{4}$ .

$\frac{3 x}{3} > \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} > \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x > \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x > \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 4.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $3$ da $3 π$ .

$x > \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$x > \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x > \frac{π}{4}$

Passaggio 5

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$3 x - \frac{π}{2} = π + \frac{π}{4}$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica $π + \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{2} = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 6.1.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 6.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 6.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 6.1.3.2

Somma $4 π$ e $π$ .

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 6.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Somma $\frac{π}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.2

Per scrivere $\frac{π}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 6.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$3 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

Passaggio 6.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 x = \frac{5 π + π \cdot 2}{4}$

Passaggio 6.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$3 x = \frac{5 π + 2 \cdot π}{4}$

Passaggio 6.2.5.2

Somma $5 π$ e $2 π$ .

$3 x = \frac{7 π}{4}$

Passaggio 6.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{7 π}{4}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{7 π}{4}$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{4}}{3}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{4}}{3}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{4}}{3}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 6.3.3.2

Moltiplica $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{7 π}{4}$ per $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{7 π}{4 \cdot 3}$

Passaggio 6.3.3.2.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Passaggio 7

Trova il periodo di $\tan (3 x - \frac{π}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 7.2

Sostituisci $b$ con $3$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 3 |}$

Passaggio 7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$\frac{π}{3}$

Passaggio 8

Il periodo della funzione $\tan (3 x - \frac{π}{2})$ è $\frac{π}{3}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{π}{3}$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{7 π}{12} + \frac{π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10

Trova il dominio di $\tan (3 x - \frac{π}{2}) - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Imposta l'argomento in $\tan (3 x - \frac{π}{2})$ in modo che sia uguale a $\frac{π}{2} + π n$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Somma $\frac{π}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = \frac{π}{2} + π n + \frac{π}{2}$

Passaggio 10.2.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 x = π n + \frac{π + π}{2}$

Passaggio 10.2.1.3

Somma $π$ e $π$ .

$3 x = π n + \frac{2 π}{2}$

Passaggio 10.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$3 x = π n + \frac{2 π}{2}$

Passaggio 10.2.1.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$3 x = π n + π$

Passaggio 10.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = π n + π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = π n + π$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{π n}{3} + \frac{π}{3}$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{π n}{3} + \frac{π}{3}$

Passaggio 10.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{π n}{3} + \frac{π}{3}$

Passaggio 10.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

${x | x \neq \frac{π n}{3} + \frac{π}{3}}$ $n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 11

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$

Passaggio 12

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Testa un valore sull'intervallo $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1$

Passaggio 12.1.2

Sostituisci $x$ con $1$ nella diseguaglianza originale.

$\tan (3 (1) - \frac{π}{2}) > 1$

Passaggio 12.1.3

Il lato sinistro di $7.01525255$ è maggiore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 12.2

Testa un valore sull'intervallo $\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1.44$

Passaggio 12.2.2

Sostituisci $x$ con $1.44$ nella diseguaglianza originale.

$\tan (3 (1.44) - \frac{π}{2}) > 1$

Passaggio 12.2.3

Il lato sinistro di $- 0.4138503$ non è maggiore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 12.3

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ Vero

$\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$ Falso

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ Vero

$\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$ Falso

Passaggio 13

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$\frac{π}{4} + \frac{π n}{3} < x < \frac{π}{3} + \frac{π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 14

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(\frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{3})$

Passaggio 15