Trigonometria Esempi

$\sin (\frac{x}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{x}{3} < \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ è $\frac{π}{3}$ .

$\frac{x}{3} < \frac{π}{3}$

Passaggio 3

Poiché l'espressione su ogni lato dell'equazione ha lo stesso denominatore, i numeratori devono essere uguali.

$x < π$

Passaggio 4

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$\frac{x}{3} = π - \frac{π}{3}$

Passaggio 5

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{3})$

Passaggio 5.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{3})$

Passaggio 5.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 3 (π - \frac{π}{3})$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $3 (π - \frac{π}{3})$ .

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Passaggio 5.2.2.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = 3 (π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3})$

Passaggio 5.2.2.1.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.2.2.1.2.1

$π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = 3 (\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3})$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = 3 \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 5.2.2.1.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$x = 3 \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 5.2.2.1.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$x = π \cdot 3 - π$

Passaggio 5.2.2.1.3

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$x = 3 π - π$

Passaggio 5.2.2.1.4

Sottrai $π$ da $3 π$ .

$x = 2 π$

Passaggio 6

Trova il periodo di $\sin (\frac{x}{3})$ .

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Passaggio 6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{3}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Passaggio 6.3

$\frac{1}{3}$ corrisponde approssimativamente a $0.\overline{3}$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Passaggio 6.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \cdot 3$

Passaggio 6.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 π$

Passaggio 7

Il periodo della funzione $\sin (\frac{x}{3})$ è $6 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $6 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π + 6 π n, 2 π + 6 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$π < x < 2 π$

$2 π < x < 7 π$

$7 π < x < 8 π$

Passaggio 9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 9.1

Testa un valore sull'intervallo $π < x < 2 π$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $π < x < 2 π$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 5$

Passaggio 9.1.2

Sostituisci $x$ con $5$ nella diseguaglianza originale.

$\sin (\frac{5}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 9.1.3

Il lato sinistro di $0.99540795$ non è minore del lato destro di $0.8660254$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 9.2

Testa un valore sull'intervallo $2 π < x < 7 π$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $2 π < x < 7 π$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 9$

Passaggio 9.2.2

Sostituisci $x$ con $9$ nella diseguaglianza originale.

$\sin (\frac{9}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 9.2.3

Il lato sinistro di $0.14112$ è minore del lato destro di $0.8660254$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 9.3

Testa un valore sull'intervallo $7 π < x < 8 π$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $7 π < x < 8 π$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 24$

Passaggio 9.3.2

Sostituisci $x$ con $24$ nella diseguaglianza originale.

$\sin (\frac{24}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 9.3.3

Il lato sinistro di $0.98935824$ non è minore del lato destro di $0.8660254$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 9.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$π < x < 2 π$ Falso

$2 π < x < 7 π$ Vero

$7 π < x < 8 π$ Falso

$π < x < 2 π$ Falso

$2 π < x < 7 π$ Vero

$7 π < x < 8 π$ Falso

Passaggio 10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$2 π + 6 π n < x < 7 π + 6 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 11

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(2 π + 6 π n, 7 π + 6 π n)$

Passaggio 12