Trigonometria Esempi

$2 x^{2} + 7 x^{3} - 8 x^{2} + 5$

Passaggio 1

Raggruppa i termini.

$- 8 x^{2} + 2 x^{2} + 7 x^{3} + 5$

Passaggio 2

Riordina i termini.

$- 8 x^{2} + 7 x^{3} + 2 x^{2} + 5$

Passaggio 3

Scomponi $7 x^{3} + 2 x^{2} + 5$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 3.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 7$

Passaggio 3.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 5, \pm 0.\overline{714285}$

Passaggio 3.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 3.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

$7 {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} + 5$

Passaggio 3.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$7 \cdot - 1 + 2 {(- 1)}^{2} + 5$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$- 7 + 2 {(- 1)}^{2} + 5$

Passaggio 3.3.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 7 + 2 \cdot 1 + 5$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 7 + 2 + 5$

Passaggio 3.3.6

Somma $- 7$ e $2$ .

$- 5 + 5$

Passaggio 3.3.7

Somma $- 5$ e $5$ .

$0$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{7 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x + 1}$

Passaggio 3.5

Dividi $7 x^{3} + 2 x^{2} + 5$ per $x + 1$ .

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Passaggio 3.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$7 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$5$

Passaggio 3.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $7 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$7 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$7 x^{2}$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			+	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$

Passaggio 3.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $7 x^{3} + 7 x^{2}$

				$7 x^{2}$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Passaggio 3.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$7 x^{2}$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Passaggio 3.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$7 x^{2}$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 3.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 5 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 3.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Passaggio 3.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 5 x^{2} - 5 x$

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Passaggio 3.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$

Passaggio 3.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$

Passaggio 3.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $5 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$7 x^{2}$	-	$5 x$	+	$5$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$

Passaggio 3.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$	+	$5$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$
							+	$5 x$	+	$5$

Passaggio 3.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $5 x + 5$

				$7 x^{2}$	-	$5 x$	+	$5$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$
							-	$5 x$	-	$5$

Passaggio 3.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$	+	$5$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$
							-	$5 x$	-	$5$
										$0$

Passaggio 3.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$7 x^{2} - 5 x + 5$

Passaggio 3.6

Scrivi $7 x^{3} + 2 x^{2} + 5$ come insieme di fattori.

$- 8 x^{2} + (x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$

Passaggio 4

Scomponi $- 1$ da $- 8 x^{2} + (x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$ .

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Passaggio 4.1

Riordina $- 8 x^{2}$ e $(x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$ .

$(x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5) - 8 x^{2}$

Passaggio 4.2

Scomponi $- 1$ da $(x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$ .

$- ((- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)) - 8 x^{2}$

Passaggio 4.3

Scomponi $- 1$ da $- 8 x^{2}$ .

$- ((- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)) - (8 x^{2})$

Passaggio 4.4

Scomponi $- 1$ da $- ((- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)) - (8 x^{2})$ .

$- ((- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5) + 8 x^{2})$

Passaggio 5

Espandi $(- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$- (- x (7 x^{2}) - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Passaggio 6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- (- 1 \cdot 7 x \cdot x^{2} - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Passaggio 6.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$- (- 1 \cdot 7 (x^{2} x) - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 6.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- (- 1 \cdot 7 (x^{2} x^{1}) - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Passaggio 6.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- (- 1 \cdot 7 x^{2 + 1} - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Passaggio 6.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$- (- 1 \cdot 7 x^{3} - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Passaggio 6.3

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$- (- 7 x^{3} - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Passaggio 6.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- (- 7 x^{3} - 1 \cdot - 5 x \cdot x - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Passaggio 6.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.5.1

Sposta $x$ .

$- (- 7 x^{3} - 1 \cdot - 5 (x \cdot x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Passaggio 6.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- (- 7 x^{3} - 1 \cdot - 5 x^{2} - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Passaggio 6.6

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Passaggio 6.7

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Passaggio 6.8

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 7 x^{2} - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Passaggio 6.9

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 7 x^{2} + 5 x - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Passaggio 6.10

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 7 x^{2} + 5 x - 5 + 8 x^{2})$

Passaggio 7

Combina i termini opposti in $- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 7 x^{2} + 5 x - 5$ .

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Passaggio 7.1

Somma $- 5 x$ e $5 x$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x^{2} + 0 - 5 + 8 x^{2})$

Passaggio 7.2

Somma $- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x^{2}$ e $0$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x^{2} - 5 + 8 x^{2})$

Passaggio 8

Sottrai $7 x^{2}$ da $5 x^{2}$ .

$- (- 7 x^{3} - 2 x^{2} - 5 + 8 x^{2})$

Passaggio 9

Somma $- 2 x^{2}$ e $8 x^{2}$ .

$- (- 7 x^{3} + 6 x^{2} - 5)$

Passaggio 10

Scomponi.

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Passaggio 10.1

Scomponi $- 1$ da $- 7 x^{3} + 6 x^{2} - 5$ .

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Passaggio 10.1.1

Scomponi $- 1$ da $- 7 x^{3}$ .

$- (- (7 x^{3}) + 6 x^{2} - 5)$

Passaggio 10.1.2

Scomponi $- 1$ da $6 x^{2}$ .

$- (- (7 x^{3}) - (- 6 x^{2}) - 5)$

Passaggio 10.1.3

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$- (- (7 x^{3}) - (- 6 x^{2}) - 1 (5))$

Passaggio 10.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (7 x^{3}) - (- 6 x^{2})$ .

$- (- (7 x^{3} - 6 x^{2}) - 1 (5))$

Passaggio 10.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (7 x^{3} - 6 x^{2}) - 1 (5)$ .

$- - (7 x^{3} - 6 x^{2} + 5)$

Passaggio 10.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- - 1 (7 x^{3} - 6 x^{2} + 5)$

Passaggio 11

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 11.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$- - (7 x^{3} - 6 x^{2} + 5)$

Passaggio 11.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (7 x^{3} - 6 x^{2} + 5)$

Passaggio 11.3

Moltiplica $7 x^{3} - 6 x^{2} + 5$ per $1$ .

$7 x^{3} - 6 x^{2} + 5$