Trigonometria Esempi

$12 x^{3} - 91 x^{2} + 50 x - 7$

Passaggio 1

Scomponi $12 x^{3} - 91 x^{2} + 50 x - 7$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.5, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.25, \pm 7, \pm 0.58\overline{3}, \pm 3.5, \pm 1.1\overline{6}, \pm 2.\overline{3}, \pm 1.75$

Passaggio 1.3

Sostituisci $0.\overline{3}$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $0.\overline{3}$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $0.\overline{3}$ nel polinomio.

$12 \cdot {0.\overline{3}}^{3} - 91 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 50 \cdot 0.\overline{3} - 7$

Passaggio 1.3.2

Eleva $0.\overline{3}$ alla potenza di $3$ .

$12 \cdot 0.\overline{037} - 91 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 50 \cdot 0.\overline{3} - 7$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $12$ per $0.\overline{037}$ .

$0.\overline{4} - 91 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 50 \cdot 0.\overline{3} - 7$

Passaggio 1.3.4

Eleva $0.\overline{3}$ alla potenza di $2$ .

$0.\overline{4} - 91 \cdot 0.\overline{1} + 50 \cdot 0.\overline{3} - 7$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $- 91$ per $0.\overline{1}$ .

$0.\overline{4} - 10.11111111 + 50 \cdot 0.\overline{3} - 7$

Passaggio 1.3.6

Sottrai $10.11111111$ da $0.\overline{4}$ .

$- 9.66666666 + 50 \cdot 0.\overline{3} - 7$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $50$ per $0.\overline{3}$ .

$- 9.66666666 + 16.\overline{6} - 7$

Passaggio 1.3.8

Somma $- 9.66666666$ e $16.\overline{6}$ .

$7 - 7$

Passaggio 1.3.9

Sottrai $7$ da $7$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $0.\overline{3}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $3 x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{12 x^{3} - 91 x^{2} + 50 x - 7}{3 x - 1}$

Passaggio 1.5

Dividi $12 x^{3} - 91 x^{2} + 50 x - 7$ per $3 x - 1$ .

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Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$3 x$

$1$

$12 x^{3}$

$91 x^{2}$

$50 x$

$7$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $12 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

					$4 x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$4 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			+	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $12 x^{3} - 4 x^{2}$

				$4 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$4 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$4 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 87 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$29 x$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$4 x^{2}$	-	$29 x$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					-	$87 x^{2}$	+	$29 x$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 87 x^{2} + 29 x$

				$4 x^{2}$	-	$29 x$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$4 x^{2}$	-	$29 x$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$
							+	$21 x$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$4 x^{2}$	-	$29 x$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$
							+	$21 x$	-	$7$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $21 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$29 x$	+	$7$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$
							+	$21 x$	-	$7$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$4 x^{2}$	-	$29 x$	+	$7$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$
							+	$21 x$	-	$7$
							+	$21 x$	-	$7$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $21 x - 7$

				$4 x^{2}$	-	$29 x$	+	$7$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$
							+	$21 x$	-	$7$
							-	$21 x$	+	$7$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$4 x^{2}$	-	$29 x$	+	$7$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$
							+	$21 x$	-	$7$
							-	$21 x$	+	$7$
										$0$

Passaggio 1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$4 x^{2} - 29 x + 7$

Passaggio 1.6

Scrivi $12 x^{3} - 91 x^{2} + 50 x - 7$ come insieme di fattori.

$(3 x - 1) (4 x^{2} - 29 x + 7)$

Passaggio 2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 4 \cdot 7 = 28$ e la cui somma è $b = - 29$ .

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Passaggio 2.1.1.1

Scomponi $- 29$ da $- 29 x$ .

$(3 x - 1) (4 x^{2} - 29 (x) + 7)$

Passaggio 2.1.1.2

Riscrivi $- 29$ come $- 1$ più $- 28$ .

$(3 x - 1) (4 x^{2} + (- 1 - 28) x + 7)$

Passaggio 2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(3 x - 1) (4 x^{2} - 1 x - 28 x + 7)$

Passaggio 2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 x - 1) ((4 x^{2} - 1 x) - 28 x + 7)$

Passaggio 2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(3 x - 1) (x (4 x - 1) - 7 (4 x - 1))$

Passaggio 2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $4 x - 1$ .

$(3 x - 1) ((4 x - 1) (x - 7))$

Passaggio 2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(3 x - 1) (4 x - 1) (x - 7)$