Trigonometria Esempi

$\tan (\frac{13 π}{12})$

Passaggio 1

Per prima cosa, dividi l'angolo in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti. In questo caso, $\frac{13 π}{12}$ può essere diviso in $\frac{3 π}{4} + \frac{π}{3}$ .

$\tan (\frac{3 π}{4} + \frac{π}{3})$

Passaggio 2

Utilizza la formula di addizione per la tangente per semplificare l'espressione. La formula stabilisce che $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (\frac{3 π}{4}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{3 π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

Passaggio 3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel secondo quadrante.

$\frac{- \tan (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{3 π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

Passaggio 3.2

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1 + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{3 π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 1 + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{3 π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

Passaggio 3.4

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{3})$ è $\sqrt{3}$ .

$\frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{3 π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

Passaggio 4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel secondo quadrante.

$\frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - - \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

Passaggio 4.2

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$\frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - (- 1 \cdot 1) \tan (\frac{π}{3})}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - - 1 \tan (\frac{π}{3})}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 1 \tan (\frac{π}{3})}$

Passaggio 4.4

Moltiplica $\tan (\frac{π}{3})$ per $1$ .

$\frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + \tan (\frac{π}{3})}$

Passaggio 4.5

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{3})$ è $\sqrt{3}$ .

$\frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$

Passaggio 5

Moltiplica $\frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ per $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

Passaggio 6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ per $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(- 1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}$

Passaggio 6.2

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\frac{(- 1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$\frac{(- 1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{(- 1 (1) + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 7.2

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{3}$ .

$\frac{(- 1 (1) - 1 (- \sqrt{3})) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 7.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 7.4

Eleva $1 - \sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 1 ({(1 - \sqrt{3})}^{1} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Passaggio 7.5

Eleva $1 - \sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 1 ({(1 - \sqrt{3})}^{1} {(1 - \sqrt{3})}^{1})}{- 2}$

Passaggio 7.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Passaggio 7.7

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Passaggio 8

Riscrivi ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ come $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$\frac{- 1 ((1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Passaggio 9

Espandi $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 1 (1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Passaggio 9.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Passaggio 9.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Passaggio 10

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{- 1 (1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $- \sqrt{3}$ per $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Passaggio 10.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 10.1.4.2

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 10.1.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 10.1.4.4

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{- 2}$

Passaggio 10.1.4.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1})}{- 2}$

Passaggio 10.1.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2})}{- 2}$

Passaggio 10.1.5

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}{- 2}$

Passaggio 10.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{- 2}$

Passaggio 10.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{- 2}$

Passaggio 10.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{- 2}$

Passaggio 10.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1})}{- 2}$

Passaggio 10.1.5.5

Calcola l'esponente.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3)}{- 2}$

Passaggio 10.2

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{- 1 (4 - \sqrt{3} - \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 10.3

Sottrai $\sqrt{3}$ da $- \sqrt{3}$ .

$\frac{- 1 (4 - 2 \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 11

Elimina il fattore comune di $4 - 2 \sqrt{3}$ e $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Scomponi $2$ da $- 1 (4 - 2 \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (- 1 (2 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Passaggio 11.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{- 1 (2 - \sqrt{3})}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (- 1 (2 - \sqrt{3}))$

Passaggio 12

Riscrivi $- 1 \cdot (- 1 (2 - \sqrt{3}))$ come $- (- 1 (2 - \sqrt{3}))$ .

$- (- 1 (2 - \sqrt{3}))$

Passaggio 13

Applica la proprietà distributiva.

$- (- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}))$

Passaggio 14

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- (- 2 - 1 (- \sqrt{3}))$

Passaggio 15

Moltiplica $- 1 (- \sqrt{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- (- 2 + 1 \sqrt{3})$

Passaggio 15.2

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$- (- 2 + \sqrt{3})$

Passaggio 16

Applica la proprietà distributiva.

$- - 2 - \sqrt{3}$

Passaggio 17

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$2 - \sqrt{3}$

Passaggio 18

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$2 - \sqrt{3}$

Forma decimale:

$0.26794919 \dots$