Trigonometria Esempi

$2 \sin (15) \cos (15)$

Passaggio 1

Il complemento di $2 \sin (15) \cos (15)$ è l'angolo che, quando aggiunto a $2 \sin (15) \cos (15)$ , forma un angolo retto ( $90 °$ ).

$90 ° - 2 \sin (15) \cos (15)$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il valore esatto di $\sin (15)$ è $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Dividi $15$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

Passaggio 2.1.2

Negazione separata.

Passaggio 2.1.3

Applica le formule di sottrazione degli angoli.

Passaggio 2.1.4

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Passaggio 2.1.5

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Passaggio 2.1.6

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Passaggio 2.1.7

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

Passaggio 2.1.8

Semplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Passaggio 2.1.8.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

Passaggio 2.1.8.1.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

Passaggio 2.1.8.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

Passaggio 2.1.8.1.2

Moltiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Passaggio 2.1.8.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

Passaggio 2.1.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

Passaggio 2.2.2

Scomponi $2$ da $4$ .

Passaggio 2.2.3

Elimina il fattore comune.

Passaggio 2.2.4

Riscrivi l'espressione.

Passaggio 2.3

Riscrivi $- 1 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ come $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ .

Passaggio 2.4

Il valore esatto di $\cos (15)$ è $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Dividi $15$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

Passaggio 2.4.2

Negazione separata.

Passaggio 2.4.3

Applica le formule di sottrazione degli angoli $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

Passaggio 2.4.4

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Passaggio 2.4.5

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Passaggio 2.4.6

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Passaggio 2.4.7

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

Passaggio 2.4.8

Semplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.8.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.8.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Passaggio 2.4.8.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

Passaggio 2.4.8.1.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

Passaggio 2.4.8.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

Passaggio 2.4.8.1.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.8.1.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

Passaggio 2.4.8.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

Passaggio 2.4.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$90 - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 °}$

Passaggio 2.5

Moltiplica $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Passaggio 2.5.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ per $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ .

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$90 - \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8 °}$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.6.1

Espandi $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.6.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$90 - \frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8 °}$

Passaggio 2.6.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$90 - \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8 °}$

Passaggio 2.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$90 - \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Passaggio 2.6.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.6.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.6.2.1.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$90 - \frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Passaggio 2.6.2.1.2

Moltiplica $6$ per $6$ .

$90 - \frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Passaggio 2.6.2.1.3

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$90 - \frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Passaggio 2.6.2.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$90 - \frac{6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Passaggio 2.6.2.1.5

Moltiplica $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1.5.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$90 - \frac{6 - \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Passaggio 2.6.2.1.5.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$90 - \frac{6 - \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Passaggio 2.6.2.1.6

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 2.6.2.1.6.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$90 - \frac{6 - \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Passaggio 2.6.2.1.6.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$90 - \frac{6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Passaggio 2.6.2.1.7

Estrai i termini dal radicale.

$90 - \frac{6 - (2 \sqrt{3}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Passaggio 2.6.2.1.8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Passaggio 2.6.2.1.9

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Passaggio 2.6.2.1.10

Moltiplica $2$ per $6$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Passaggio 2.6.2.1.11

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 2.6.2.1.11.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Passaggio 2.6.2.1.11.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Passaggio 2.6.2.1.12

Estrai i termini dal radicale.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Passaggio 2.6.2.1.13

Moltiplica $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Passaggio 2.6.2.1.13.1

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - (\sqrt{2} \sqrt{2})}{8 °}$

Passaggio 2.6.2.1.13.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - (\sqrt{2} \sqrt{2})}{8 °}$

Passaggio 2.6.2.1.13.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8 °}$

Passaggio 2.6.2.1.13.4

Somma $1$ e $1$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8 °}$

Passaggio 2.6.2.1.14

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 2.6.2.1.14.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8 °}$

Passaggio 2.6.2.1.14.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8 °}$

Passaggio 2.6.2.1.14.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8 °}$

Passaggio 2.6.2.1.14.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.6.2.1.14.4.1

Elimina il fattore comune.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8 °}$

Passaggio 2.6.2.1.14.4.2

Riscrivi l'espressione.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2}{8 °}$

Passaggio 2.6.2.1.14.5

Calcola l'esponente.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{8 °}$

Passaggio 2.6.2.1.15

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2}{8 °}$

Passaggio 2.6.2.2

Sottrai $2$ da $6$ .

$90 - \frac{4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{8 °}$

Passaggio 2.6.2.3

Somma $- 2 \sqrt{3}$ e $2 \sqrt{3}$ .

$90 - \frac{4 + 0}{8 °}$

Passaggio 2.6.2.4

Somma $4$ e $0$ .

$90 - \frac{4}{8 °}$

Passaggio 2.7

Elimina il fattore comune di $4$ e $8$ .

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Passaggio 2.7.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$90 - \frac{4 (1)}{8 °}$

Passaggio 2.7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.7.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

Passaggio 2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

Passaggio 2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$90 - \frac{1}{2 °}$

Passaggio 3

Per scrivere $90$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$90 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 °}$

Passaggio 4

$90$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{90 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 °}$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{90 \cdot 2 - 1}{2 °}$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $90$ per $2$ .

$\frac{180 - 1}{2 °}$

Passaggio 6.2

Sottrai $1$ da $180$ .

$\frac{179}{2 °}$