Trigonometria Esempi

$\frac{\cos (x) \cdot \cot (x)}{\cot (x) - \cos (x)} = \frac{\cot (x) + \cos (x)}{\cos (x) \cdot \cot (x)}$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\frac{\cos (x) \cdot \cot (x)}{\cot (x) - \cos (x)}$

Passaggio 2

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 2.1

Scrivi $\cot (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\frac{\cos (x) \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\cot (x) - \cos (x)}$

Passaggio 2.2

Scrivi $\cot (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\frac{\cos (x) \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Passaggio 3

Scrivi $\cos (x)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Passaggio 4

Combina.

$\frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{1 \sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Passaggio 5

Moltiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{1 \sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Passaggio 6

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Passaggio 7

Applica l'identità pitagorica al contrario.

$\frac{\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1 - {\sin (x)}^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Passaggio 8.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Passaggio 8.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Passaggio 8.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 8.3.1

Scomponi $\cos (x)$ da $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)$ .

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Passaggio 8.3.1.1

Scomponi $\cos (x)$ da $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Passaggio 8.3.1.2

Scomponi $\cos (x)$ da $- \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} + \cos (x) \cdot - 1}$

Passaggio 8.3.1.3

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} + \cos (x) \cdot - 1$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)}$

Passaggio 8.3.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1 \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)})}$

Passaggio 8.3.3

$- 1$ e $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x)}{\sin (x)})}$

Passaggio 8.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \frac{1 - \sin (x)}{\sin (x)}}$

Passaggio 8.4

$\cos (x)$ e $\frac{1 - \sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) (1 - \sin (x))}{\sin (x)}}$

Passaggio 8.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))})$

Passaggio 8.6

Moltiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$ per $1$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Passaggio 8.7

Elimina il fattore comune di $1 - \sin (x)$ .

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Passaggio 8.7.1

Scomponi $1 - \sin (x)$ da $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Passaggio 8.7.2

Scomponi $1 - \sin (x)$ da $\cos (x) (1 - \sin (x))$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)}$

Passaggio 8.7.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)}$

Passaggio 8.7.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 8.8

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

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Passaggio 8.8.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 8.8.2

Riscrivi l'espressione.

$(1 + \sin (x)) \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 8.9

Applica la proprietà distributiva.

$1 \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 8.10

Moltiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ per $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 8.11

$\sin (x)$ e $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 10

Riscrivi $\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$ come $\frac{\cot (x) + \cos (x)}{\cos (x) \cdot \cot (x)}$ .

$\frac{\cot (x) + \cos (x)}{\cos (x) \cdot \cot (x)}$

Passaggio 11

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{\cos (x) \cdot \cot (x)}{\cot (x) - \cos (x)} = \frac{\cot (x) + \cos (x)}{\cos (x) \cdot \cot (x)}$ è un'identità