Trigonometria Esempi

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\csc (x) + 1} = 1$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\csc (x) + 1}$

Passaggio 2

Applica l'identità reciproca a $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.1.1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}}$

Passaggio 3.1.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x)}}$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + 1 \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$ per $1$ .

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Passaggio 3.2

Per scrivere $\frac{1}{\sin (x) + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x) + 1} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Passaggio 3.3

Per scrivere $\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{1}{\sin (x) + 1} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$

Passaggio 3.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(\sin (x) + 1) (1 + \sin (x))$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 3.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sin (x) + 1}$ per $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{(\sin (x) + 1) (1 + \sin (x))} + \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$ per $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{(\sin (x) + 1) (1 + \sin (x))} + \frac{\sin (x) (\sin (x) + 1)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Passaggio 3.4.3

Riordina i fattori di $(\sin (x) + 1) (1 + \sin (x))$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)} + \frac{\sin (x) (\sin (x) + 1)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Passaggio 3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) (\sin (x) + 1)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Passaggio 3.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Passaggio 3.6.2.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{1} \sin (x) + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Passaggio 3.6.2.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1} + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Passaggio 3.6.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Passaggio 3.6.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Passaggio 3.6.3

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Passaggio 3.6.4

Somma $\sin (x)$ e $\sin (x)$ .

$\frac{1 + {\sin (x)}^{2} + 2 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Passaggio 3.6.5

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 3.6.5.1

Rimetti in ordine i termini.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Passaggio 3.6.5.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Passaggio 3.6.5.3

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 \sin (x) = 2 \cdot 1 \cdot \sin (x)$

Passaggio 3.6.5.4

Riscrivi il polinomio.

$\frac{1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Passaggio 3.6.5.5

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = 1$ e $b = \sin (x)$ .

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Passaggio 3.7

Elimina il fattore comune di ${(1 + \sin (x))}^{2}$ e $1 + \sin (x)$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x) + 1}$

Passaggio 4

Elimina il fattore comune di $1 + \sin (x)$ .

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Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Passaggio 4.2

Riscrivi l'espressione.

$1$

Passaggio 5

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\csc (x) + 1} = 1$ è un'identità