Trigonometria Esempi

$\frac{1}{\sec (x) - \cos (x)} = \cot (x) \csc (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\frac{1}{\sec (x) - \cos (x)}$

Passaggio 2

Applica l'identità reciproca a $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.1.1

Per scrivere $- \cos (x)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 3.1.2

$- \cos (x)$ e $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 3.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{\frac{1 - \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 3.1.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1.4.1

Moltiplica $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 3.1.4.1.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))}{\cos (x)}}$

Passaggio 3.1.4.1.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})}{\cos (x)}}$

Passaggio 3.1.4.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{\frac{1 - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}}$

Passaggio 3.1.4.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}}$

Passaggio 3.1.4.2

Riscrivi $1 - {\cos (x)}^{2}$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 3.1.4.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}}$

Passaggio 3.1.4.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \cos (x)$ .

$\frac{1}{\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$1 \frac{\cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $\frac{\cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$ per $1$ .

$\frac{\cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cos (x)}{(1 + \cos (x)) \cdot 1 + (1 + \cos (x)) (- \cos (x))}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.1

Moltiplica $1 + \cos (x)$ per $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) + (1 + \cos (x)) (- \cos (x))}$

Passaggio 5.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (- \cos (x))}$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica $- \cos (x)$ per $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x))}$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $\cos (x) (- \cos (x))$ .

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Passaggio 5.1.4.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))}$

Passaggio 5.1.4.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})}$

Passaggio 5.1.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.1.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) - {\cos (x)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Sottrai $\cos (x)$ da $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + 0 - {\cos (x)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Passaggio 6

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 7

Riscrivi $\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ come $\cot (x) \csc (x)$ .

$\cot (x) \csc (x)$

Passaggio 8

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{1}{\sec (x) - \cos (x)} = \cot (x) \csc (x)$ è un'identità