Trigonometria Esempi

$\frac{1}{1 - \sin (x)} = \sec^{2} (x) + \tan (x) \sec (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato destro.

$\sec^{2} (x) + \tan (x) \sec (x)$

Passaggio 2

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 2.1

Applica l'identità reciproca a $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \tan (x) \sec (x)$

Passaggio 2.2

Scrivi $\tan (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sec (x)$

Passaggio 2.3

Applica l'identità reciproca a $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 2.4.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 5

Applica l'identità pitagorica al contrario.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin^{2} (x)}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 6.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \sin (x)$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $1 + \sin (x)$ .

$\frac{1}{1 - \sin (x)}$

Passaggio 7

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{1}{1 - \sin (x)} = \sec^{2} (x) + \tan (x) \sec (x)$ è un'identità