Trigonometria Esempi

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = {(\cot (x) - \csc (x))}^{2}$

Passaggio 1

Inizia dal lato destro.

${(\cot (x) - \csc (x))}^{2}$

Passaggio 2

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 2.1

Scrivi $\cot (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \csc (x))}^{2}$

Passaggio 2.2

Applica l'identità reciproca a $\csc (x)$ .

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Riscrivi ${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ come $(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})$ .

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})$

Passaggio 2.3.2

Espandi $(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})$

Passaggio 2.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})$

Passaggio 2.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.3.1.1

Moltiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Passaggio 2.3.3.1.1.1

Moltiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ per $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Passaggio 2.3.3.1.1.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Passaggio 2.3.3.1.1.3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Passaggio 2.3.3.1.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Passaggio 2.3.3.1.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Passaggio 2.3.3.1.1.6

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Passaggio 2.3.3.1.1.7

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Passaggio 2.3.3.1.1.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Passaggio 2.3.3.1.1.9

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Passaggio 2.3.3.1.2

Moltiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$ .

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Passaggio 2.3.3.1.2.1

Moltiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ per $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Passaggio 2.3.3.1.2.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Passaggio 2.3.3.1.2.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Passaggio 2.3.3.1.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Passaggio 2.3.3.1.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Passaggio 2.3.3.1.3

Moltiplica $- \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Passaggio 2.3.3.1.3.1

Moltiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ per $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Passaggio 2.3.3.1.3.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Passaggio 2.3.3.1.3.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Passaggio 2.3.3.1.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Passaggio 2.3.3.1.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Passaggio 2.3.3.1.4

Moltiplica $- \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$ .

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Passaggio 2.3.3.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + 1 \frac{1}{\sin (x)} \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 2.3.3.1.4.2

Moltiplica $\frac{1}{\sin (x)}$ per $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 2.3.3.1.4.3

Moltiplica $\frac{1}{\sin (x)}$ per $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x) \sin (x)}$

Passaggio 2.3.3.1.4.4

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

Passaggio 2.3.3.1.4.5

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

Passaggio 2.3.3.1.4.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.3.3.1.4.7

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{{\cos (x)}^{2} - \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{{\cos (x)}^{2} - \cos (x) - \cos (x) + 1}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 2.3.5

Sottrai $\cos (x)$ da $- \cos (x)$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2} - 2 \cos (x) + 1}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 2.3.6

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

$\frac{{(\cos (x) - 1)}^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Riscrivi ${(\cos (x) - 1)}^{2}$ come $(\cos (x) - 1) (\cos (x) - 1)$ .

$\frac{(\cos (x) - 1) (\cos (x) - 1)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 2.4.2

Espandi $(\cos (x) - 1) (\cos (x) - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cos (x) (\cos (x) - 1) - 1 (\cos (x) - 1)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 2.4.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 - 1 (\cos (x) - 1)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 2.4.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 - 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 2.4.3

Semplifica e combina i termini simili.

$\frac{\cos^{2} (x) - 2 \cos (x) + 1}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

$\frac{{(\cos (x) - 1)}^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 4

Applica l'identità pitagorica al contrario.

$\frac{{(\cos (x) - 1)}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{{(\cos (x) - 1)}^{2}}{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \cos (x)$ .

$\frac{{(\cos (x) - 1)}^{2}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di ${(\cos (x) - 1)}^{2}$ e $1 - \cos (x)$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Passaggio 6

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = {(\cot (x) - \csc (x))}^{2}$ è un'identità