Trigonometria Esempi

$(1 - \cos^{2} (x)) (1 + \cos^{2} (x)) = 2 \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$(1 - \cos^{2} (x)) (1 + \cos^{2} (x))$

Passaggio 2

Scomponi.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$(1^{2} - \cos^{2} (x)) (1 + \cos^{2} (x))$

Passaggio 2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \cos (x)$ .

$(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) (1 + \cos^{2} (x))$

Passaggio 3

Applica l'identità pitagorica al contrario.

$(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) (1 + 1 - \sin^{2} (x))$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Espandi $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$(1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Passaggio 4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Passaggio 4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Passaggio 4.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$(1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- \cos (x)$ per $1$ .

$(1 - \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$(1 - \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $\cos (x) (- \cos (x))$ .

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Passaggio 4.2.1.4.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$(1 - \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Passaggio 4.2.1.4.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$(1 - \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Passaggio 4.2.1.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Passaggio 4.2.1.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$(1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{2}) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Passaggio 4.2.2

Somma $- \cos (x)$ e $\cos (x)$ .

$(1 + 0 - {\cos (x)}^{2}) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Passaggio 4.2.3

Somma $1$ e $0$ .

$(1 - {\cos (x)}^{2}) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Passaggio 4.3

Somma $1$ e $1$ .

$(1 - {\cos (x)}^{2}) (2 - {\sin (x)}^{2})$

Passaggio 4.4

Espandi $(1 - {\cos (x)}^{2}) (2 - {\sin (x)}^{2})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 (2 - {\sin (x)}^{2}) - {\cos (x)}^{2} (2 - {\sin (x)}^{2})$

Passaggio 4.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot 2 + 1 (- {\sin (x)}^{2}) - {\cos (x)}^{2} (2 - {\sin (x)}^{2})$

Passaggio 4.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot 2 + 1 (- {\sin (x)}^{2}) - {\cos (x)}^{2} \cdot 2 - {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})$

Passaggio 4.5

Semplifica ciascun termine.

$2 - \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1

Sposta $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 - 2 \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Passaggio 5.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$2 (1) - 2 \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Passaggio 5.3

Scomponi $2$ da $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Passaggio 5.4

Scomponi $2$ da $2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x))$ .

$2 (1 - \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Passaggio 5.5

Applica l'identità pitagorica.

$2 \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Passaggio 5.6

Scomponi $\sin^{2} (x)$ da $2 \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ .

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Passaggio 5.6.1

Scomponi $\sin^{2} (x)$ da $2 \sin^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) \cdot 2 - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Passaggio 5.6.2

Scomponi $\sin^{2} (x)$ da $- \sin^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) \cdot 2 + \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Passaggio 5.6.3

Scomponi $\sin^{2} (x)$ da $\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) \cdot 2 + \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Passaggio 5.6.4

Scomponi $\sin^{2} (x)$ da $\sin^{2} (x) \cdot 2 + \sin^{2} (x) \cdot - 1$ .

$\sin^{2} (x) \cdot (2 - 1) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Passaggio 5.6.5

Scomponi $\sin^{2} (x)$ da $\sin^{2} (x) \cdot (2 - 1) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) (2 - 1 + \cos^{2} (x))$

Passaggio 5.7

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\sin^{2} (x) (2 - 1 (1) + \cos^{2} (x))$

Passaggio 5.8

Scomponi $- 1$ da $\cos^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) (2 - 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)))$

Passaggio 5.9

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$\sin^{2} (x) (2 - 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

Passaggio 5.10

Riscrivi $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ come $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$\sin^{2} (x) (2 - (1 - \cos^{2} (x)))$

Passaggio 5.11

Applica l'identità pitagorica.

$\sin^{2} (x) (2 - \sin^{2} (x))$

Passaggio 5.12

Applica la proprietà distributiva.

$\sin^{2} (x) \cdot 2 + \sin^{2} (x) (- \sin^{2} (x))$

Passaggio 5.13

Sposta $2$ alla sinistra di $\sin^{2} (x)$ .

$2 \cdot \sin^{2} (x) + \sin^{2} (x) (- \sin^{2} (x))$

Passaggio 5.14

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \cdot \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Passaggio 5.15

Moltiplica $\sin^{2} (x)$ per $\sin^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.15.1

Sposta $\sin^{2} (x)$ .

$2 \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) \sin^{2} (x))$

Passaggio 5.15.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \sin^{2} (x) - {\sin (x)}^{2 + 2}$

Passaggio 5.15.3

Somma $2$ e $2$ .

$2 \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)$

Passaggio 6

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$(1 - \cos^{2} (x)) (1 + \cos^{2} (x)) = 2 \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)$ è un'identità