Trigonometria Esempi

$(\sec (x) - \tan (x)) (\csc (x) + 1) = \cot (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$(\sec (x) - \tan (x)) (\csc (x) + 1)$

Passaggio 2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$(\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)) (\csc (x) + 1)$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\csc (x) + 1)$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$

Passaggio 2.3

Espandi $(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\sin (x)} + 1) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$

Passaggio 2.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$

Passaggio 2.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

Passaggio 2.4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.4.1.1

Moltiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ per $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

Passaggio 2.4.1.2

Moltiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ per $1$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

Passaggio 2.4.1.3

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

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Passaggio 2.4.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nel numeratore.

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

Passaggio 2.4.1.3.2

Scomponi $\sin (x)$ da $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

Passaggio 2.4.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

Passaggio 2.4.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

Passaggio 2.4.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

Passaggio 2.4.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 2.4.2

Sottrai $\frac{1}{\cos (x)}$ da $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + 0 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 2.4.3

Somma $\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$ e $0$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 3

Sottrai le frazioni.

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Passaggio 3.1

Per scrivere $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ per $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 4

Moltiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 5

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 6

Elimina il fattore comune di ${\cos (x)}^{2}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 7

Riscrivi $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ come $\cot (x)$ .

$\cot (x)$

Passaggio 8

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$(\sec (x) - \tan (x)) (\csc (x) + 1) = \cot (x)$ è un'identità