Trigonometria Esempi

$(\csc (x) + \cot (x)) (1 - \cos (x)) = \sin (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$(\csc (x) + \cot (x)) (1 - \cos (x))$

Passaggio 2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)) (1 - \cos (x))$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi $\cot (x)$ in termini di seno e coseno.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \cos (x))$

Passaggio 2.2

Espandi $(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \cos (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\sin (x)} (1 - \cos (x)) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (1 - \cos (x))$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\sin (x)} (- \cos (x)) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (1 - \cos (x))$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\sin (x)} (- \cos (x)) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \cos (x))$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $\frac{1}{\sin (x)}$ per $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \cos (x)) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \cos (x))$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \cos (x))$

Passaggio 2.3.1.3

$\cos (x)$ e $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \cos (x))$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ per $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \cos (x))$

Passaggio 2.3.1.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$

Passaggio 2.3.1.6

Moltiplica $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ .

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Passaggio 2.3.1.6.1

$\cos (x)$ e $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 2.3.1.6.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 2.3.1.6.3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 2.3.1.6.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}$

Passaggio 2.3.1.6.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 2.3.2

Somma $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ e $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + 0 - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 2.3.3

Somma $\frac{1}{\sin (x)}$ e $0$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 2.5

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 2.6

Elimina il fattore comune di $\sin^{2} (x)$ e $\sin (x)$ .

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Passaggio 2.6.1

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 2.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.6.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}$

Passaggio 2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}$

Passaggio 2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sin (x)}{1}$

Passaggio 2.6.2.4

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x)$

Passaggio 3

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$(\csc (x) + \cot (x)) (1 - \cos (x)) = \sin (x)$ è un'identità