Trigonometria Esempi

$\frac{\csc (a) + \cot (a)}{\csc (a) - \cot (a)} = \frac{1 + 2 \cos (a) + (\cos^{2} (a))}{\sin^{2} (a)}$

Passaggio 1

Inizia dal lato destro.

$\frac{1 + 2 \cos (a) + (\cos^{2} (a))}{\sin^{2} (a)}$

Passaggio 2

Scomponi.

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Passaggio 2.1

Rimuovi le parentesi.

$\frac{1 + 2 \cos (a) + \cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

Passaggio 2.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} + 2 \cos (a) + \cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

Passaggio 2.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 \cos (a) = 2 \cdot 1 \cdot \cos (a)$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot \cos (a) + \cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

Passaggio 2.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = 1$ e $b = \cos (a)$ .

$\frac{{(1 + \cos (a))}^{2}}{\sin^{2} (a)}$

Passaggio 3

Applica l'identità pitagorica al contrario.

$\frac{{(1 + \cos (a))}^{2}}{1 - \cos^{2} (a)}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{{(1 + \cos (a))}^{2}}{1^{2} - {\cos (a)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \cos (a)$ .

$\frac{{(1 + \cos (a))}^{2}}{(1 + \cos (a)) (1 - \cos (a))}$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di ${(1 + \cos (a))}^{2}$ e $1 + \cos (a)$ .

$\frac{1 + \cos (a)}{1 - \cos (a)}$

Passaggio 5

Riscrivi $\frac{1 + \cos (a)}{1 - \cos (a)}$ come $\frac{\csc (a) + \cot (a)}{\csc (a) - \cot (a)}$ .

$\frac{\csc (a) + \cot (a)}{\csc (a) - \cot (a)}$

Passaggio 6

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{\csc (a) + \cot (a)}{\csc (a) - \cot (a)} = \frac{1 + 2 \cos (a) + \cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$ è un'identità