Trigonometria Esempi

${(\sin (t) + \cos (t))}^{2} = 1 + \sin (2 t)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

${(\sin (t) + \cos (t))}^{2}$

Passaggio 2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.1

Riscrivi ${(\sin (t) + \cos (t))}^{2}$ come $(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$ .

$(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$

Passaggio 2.2

Espandi $(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (t) (\sin (t) + \cos (t)) + \cos (t) (\sin (t) + \cos (t))$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (t) \sin (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) (\sin (t) + \cos (t))$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (t) \sin (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \cos (t)$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $\sin (t) \sin (t)$ .

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Passaggio 2.3.1.1.1

Eleva $\sin (t)$ alla potenza di $1$ .

$\sin^{1} (t) \sin (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \cos (t)$

Passaggio 2.3.1.1.2

Eleva $\sin (t)$ alla potenza di $1$ .

$\sin^{1} (t) \sin^{1} (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \cos (t)$

Passaggio 2.3.1.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\sin (t)}^{1 + 1} + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \cos (t)$

Passaggio 2.3.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\sin^{2} (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \cos (t)$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $\cos (t) \cos (t)$ .

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Passaggio 2.3.1.2.1

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\sin^{2} (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos^{1} (t) \cos (t)$

Passaggio 2.3.1.2.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\sin^{2} (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos^{1} (t) \cos^{1} (t)$

Passaggio 2.3.1.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin^{2} (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + {\cos (t)}^{1 + 1}$

Passaggio 2.3.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\sin^{2} (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos^{2} (t)$

Passaggio 2.3.2

Riordina i fattori di $\sin (t) \cos (t)$ .

$\sin^{2} (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos^{2} (t)$

Passaggio 2.3.3

Somma $\cos (t) \sin (t)$ e $\cos (t) \sin (t)$ .

$\sin^{2} (t) + 2 \cos (t) \sin (t) + \cos^{2} (t)$

Passaggio 2.4

Sposta $\cos^{2} (t)$ .

$\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t) + 2 \cos (t) \sin (t)$

Passaggio 2.5

Applica l'identità pitagorica.

$1 + 2 \cos (t) \sin (t)$

Passaggio 2.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.6.1

Riordina $2 \cos (t)$ e $\sin (t)$ .

$1 + \sin (t) (2 \cos (t))$

Passaggio 2.6.2

Riordina $\sin (t)$ e $2$ .

$1 + 2 \cdot \sin (t) \cos (t)$

Passaggio 2.6.3

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$1 + \sin (2 t)$

Passaggio 3

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

${(\sin (t) + \cos (t))}^{2} = 1 + \sin (2 t)$ è un'identità