Trigonometria Esempi

$\frac{\cot^{2} (B) - \cos^{2} (B)}{\csc^{2} (B) - 1} = \cos^{2} (B)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\frac{\cot^{2} (B) - \cos^{2} (B)}{\csc^{2} (B) - 1}$

Passaggio 2

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 2.1

Scrivi $\cot (B)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\frac{{(\frac{\cos (B)}{\sin (B)})}^{2} - \cos^{2} (B)}{\csc^{2} (B) - 1}$

Passaggio 2.2

Applica l'identità reciproca a $\csc (B)$ .

$\frac{{(\frac{\cos (B)}{\sin (B)})}^{2} - \cos^{2} (B)}{{(\frac{1}{\sin (B)})}^{2} - 1}$

Passaggio 2.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{\cos (B)}{\sin (B)}$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (B)}{\sin^{2} (B)} - \cos^{2} (B)}{{(\frac{1}{\sin (B)})}^{2} - 1}$

Passaggio 2.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\sin (B)}$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (B)}{\sin^{2} (B)} - \cos^{2} (B)}{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (B)} - 1}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${\sin (B)}^{2}$ .

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica $\frac{\frac{{\cos (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - {\cos (B)}^{2}}{\frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - 1}$ per $\frac{{\sin (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}}$ .

$\frac{{\sin (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} \cdot \frac{\frac{{\cos (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - {\cos (B)}^{2}}{\frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - 1}$

Passaggio 3.1.2

Combina.

$\frac{{\sin (B)}^{2} (\frac{{\cos (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - {\cos (B)}^{2})}{{\sin (B)}^{2} (\frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - 1)}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{\sin (B)}^{2} \frac{{\cos (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{{\sin (B)}^{2} \frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Passaggio 3.3

Semplifica cancellando.

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Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di ${\sin (B)}^{2}$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{\sin (B)}^{2} \frac{{\cos (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{{\sin (B)}^{2} \frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{\cos (B)}^{2} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{{\sin (B)}^{2} \frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune di ${\sin (B)}^{2}$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{\cos (B)}^{2} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{{\sin (B)}^{2} \frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Passaggio 3.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{\cos (B)}^{2} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Scomponi ${\cos (B)}^{2}$ da ${\cos (B)}^{2} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})$ .

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Passaggio 3.4.1.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} \cdot 1 + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Passaggio 3.4.1.2

Scomponi ${\cos (B)}^{2}$ da ${\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} \cdot 1 + {\cos (B)}^{2} ({\sin (B)}^{2} \cdot (- 1))}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Passaggio 3.4.1.3

Scomponi ${\cos (B)}^{2}$ da ${\cos (B)}^{2} \cdot 1 + {\cos (B)}^{2} ({\sin (B)}^{2} \cdot (- 1))$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + {\sin (B)}^{2} \cdot (- 1))}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Passaggio 3.4.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di ${\sin (B)}^{2}$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 - 1 \cdot {\sin (B)}^{2})}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Passaggio 3.4.3

Riscrivi $- 1 {\sin (B)}^{2}$ come $- {\sin (B)}^{2}$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 - {\sin (B)}^{2})}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Passaggio 3.4.4

Riscrivi $1 - {\sin (B)}^{2}$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 3.4.4.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1^{2} - {\sin (B)}^{2})}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Passaggio 3.4.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \sin (B)$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} ((1 + \sin (B)) (1 - \sin (B)))}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Passaggio 3.5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{1 + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di ${\sin (B)}^{2}$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{1 - 1 \cdot {\sin (B)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3

Riscrivi $- 1 {\sin (B)}^{2}$ come $- {\sin (B)}^{2}$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{1 - {\sin (B)}^{2}}$

Passaggio 3.5.4

Riscrivi $1 - {\sin (B)}^{2}$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 3.5.4.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{1^{2} - {\sin (B)}^{2}}$

Passaggio 3.5.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \sin (B)$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{(1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $1 + \sin (B)$ .

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Passaggio 3.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{(1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}$

Passaggio 3.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 - \sin (B))}{1 - \sin (B)}$

Passaggio 3.7

Elimina il fattore comune di $1 - \sin (B)$ .

$\cos^{2} (B)$

Passaggio 4

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{\cot^{2} (B) - \cos^{2} (B)}{\csc^{2} (B) - 1} = \cos^{2} (B)$ è un'identità