Trigonometria Esempi

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1} = \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato destro.

$\tan^{2} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Passaggio 2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Passaggio 2.4

$2$ e $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Passaggio 2.5

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \sec^{2} (x)$

Passaggio 2.6

Moltiplica $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Moltiplica $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ per $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x)$

Passaggio 2.6.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x)$

Passaggio 2.6.3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \sec^{2} (x)$

Passaggio 2.6.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \sec^{2} (x)$

Passaggio 2.6.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec^{2} (x)$

Passaggio 2.7

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Passaggio 2.8

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.9

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin^{2} (x) + 2 \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) + 2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.1.2

Scomponi $\sin (x)$ da $2 \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.1.3

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2$ .

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + 2)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + 2) + 1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.3.2.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.3.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.3.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) + 1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.3.4

Riscrivi $\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Sia $u = \sin (x)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $\sin (x)$ con $u$ .

$\frac{u^{2} + 2 u + 1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.3.4.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{u^{2} + 2 u + 1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.3.4.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Passaggio 4.3.4.2.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.3.4.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = u$ e $b = 1$ .

$\frac{{(u + 1)}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 5

Applica l'identità pitagorica al contrario.

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{1 - \sin^{2} (x)}$

Passaggio 6

Semplifica il denominatore.

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Passaggio 7

Elimina il fattore comune di ${(1 + \sin (x))}^{2}$ e $1 + \sin (x)$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Passaggio 8

Riscrivi $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ come $\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1}$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1}$

Passaggio 9

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1} = \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$ è un'identità