Trigonometria Esempi

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)} = \cos^{2} (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

Passaggio 2

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 2.1

Scrivi $\tan (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{1 - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${\cos (x)}^{2}$ .

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica $\frac{{\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$ per $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Passaggio 3.1.2

Combina.

$\frac{{\cos (x)}^{2} ({\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 + {\cos (x)}^{2} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})}$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di ${\cos (x)}^{2}$ .

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Passaggio 3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 + {\cos (x)}^{2} \frac{- {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 + {\cos (x)}^{2} \frac{- {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Riscrivi ${\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}$ come ${(\cos (x) \cos (x))}^{2}$ .

$\frac{{(\cos (x) \cos (x))}^{2} + {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Riscrivi ${\cos (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2})$ come ${(\cos (x) \sin (x))}^{2}$ .

$\frac{{(\cos (x) \cos (x))}^{2} - {(\cos (x) \sin (x))}^{2}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \cos (x) \cos (x)$ e $b = \cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{(\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.4.1

Moltiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 3.4.4.1.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{({\cos (x)}^{1} \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4.1.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1} + \cos (x) \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{({\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{({\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4.2

Scomponi $\cos (x)$ da ${\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x)$ .

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Passaggio 3.4.4.2.1

Scomponi $\cos (x)$ da ${\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{(\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4.2.2

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{(\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x))) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4.2.3

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x))$ .

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4.3

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 3.4.4.3.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) ({\cos (x)}^{1} \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4.3.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1} - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) ({\cos (x)}^{1 + 1} - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) ({\cos (x)}^{2} - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.5

Scomponi $\cos (x)$ da ${\cos (x)}^{2} - \cos (x) \sin (x)$ .

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Passaggio 3.4.5.1

Scomponi $\cos (x)$ da ${\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.5.2

Scomponi $\cos (x)$ da $- \cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.5.3

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))$ .

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.6

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 3.4.6.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{1} \cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.6.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.6.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.6.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.5.1

Riscrivi ${\cos (x)}^{2} \cdot 1$ come ${(\cos (x) \cdot 1)}^{2}$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\cos (x) \cdot 1)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \cos (x) \cdot 1$ e $b = \sin (x)$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{(\cos (x) \cdot 1 + \sin (x)) (\cos (x) \cdot 1 - \sin (x))}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica.

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Passaggio 3.5.3.1

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) \cdot 1 - \sin (x))}$

Passaggio 3.5.3.2

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $\cos (x) + \sin (x)$ .

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Passaggio 3.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Passaggio 3.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) - \sin (x)}$

Passaggio 3.7

Elimina il fattore comune di $\cos (x) - \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x)$

Passaggio 4

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)} = \cos^{2} (x)$ è un'identità