Trigonometria Esempi

$\frac{\csc^{2} (x)}{\cot^{2} (x) - 1} = \frac{\sec^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\frac{\csc^{2} (x)}{\cot^{2} (x) - 1}$

Passaggio 2

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 2.1

Applica l'identità reciproca a $\csc (x)$ .

$\frac{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{\cot^{2} (x) - 1}$

Passaggio 2.2

Scrivi $\cot (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\frac{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} - 1}$

Passaggio 2.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} - 1}$

Passaggio 2.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - 1}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1}$

Passaggio 3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1}$

Passaggio 3.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ come ${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} - 1}$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} - 1^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ e $b = 1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}$

Passaggio 3.3.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}$

Passaggio 3.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}$

Passaggio 3.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1 \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)})}$

Passaggio 3.3.7

$- 1$ e $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x)}{\sin (x)})}$

Passaggio 3.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x) - \sin (x)}{\sin (x)}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)}$ per $\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\sin (x) \sin (x)}}$

Passaggio 3.5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.5.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}}$

Passaggio 3.5.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}}$

Passaggio 3.5.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{1 + 1}}}$

Passaggio 3.5.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}}$

Passaggio 3.6

Combina.

$\frac{1 \cdot 1}{{\sin (x)}^{2} \frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}}$

Passaggio 3.7

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2} \frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}}$

Passaggio 3.8

${\sin (x)}^{2}$ e $\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{{\sin (x)}^{2} ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)))}{{\sin (x)}^{2}}}$

Passaggio 3.9

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

$\frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Passaggio 4

Riscrivi $\frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$ come $\frac{\sec^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

Passaggio 5

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{\csc^{2} (x)}{\cot^{2} (x) - 1} = \frac{\sec^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$ è un'identità