Trigonometria Esempi

$\frac{\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)} = \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\frac{\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Passaggio 2

Converti in seni e coseni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Applica l'identità reciproca a $\sec (x)$ .

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} - \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Passaggio 2.2

Scrivi $\tan (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{4}}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Passaggio 2.3

Applica l'identità reciproca a $\sec (x)$ .

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{4}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \tan^{2} (x)}$

Passaggio 2.4

Scrivi $\tan (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{4}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Passaggio 2.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{4}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Passaggio 2.6

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} - \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Passaggio 2.7

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} - \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Passaggio 2.8

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} - \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${\cos (x)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Moltiplica $\frac{\frac{1^{4}}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}}{\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$ per $\frac{{\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}$ .

$\frac{{\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} \cdot \frac{\frac{1^{4}}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}}{\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Passaggio 3.1.2

Combina.

$\frac{{\cos (x)}^{4} (\frac{1^{4}}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}})}{{\cos (x)}^{4} (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{\cos (x)}^{4} \frac{1^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + {\cos (x)}^{4} (- \frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}})}{{\cos (x)}^{4} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Passaggio 3.3

Semplifica cancellando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di ${\cos (x)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1^{4} + {\cos (x)}^{4} (- \frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}})}{{\cos (x)}^{4} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune di ${\cos (x)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}$ nel numeratore.

$\frac{1^{4} + {\cos (x)}^{4} \frac{- {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}}{{\cos (x)}^{4} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Passaggio 3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1^{4} + {\cos (x)}^{4} \frac{- {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}}{{\cos (x)}^{4} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Passaggio 3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune di ${\cos (x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Scomponi ${\cos (x)}^{2}$ da ${\cos (x)}^{4}$ .

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Passaggio 3.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Passaggio 3.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Passaggio 3.3.4

Elimina il fattore comune di ${\cos (x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Scomponi ${\cos (x)}^{2}$ da ${\cos (x)}^{4}$ .

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Passaggio 3.3.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Passaggio 3.3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Riscrivi $1^{4}$ come ${(1^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(1^{2})}^{2} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Riscrivi ${\sin (x)}^{4}$ come ${({\sin (x)}^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(1^{2})}^{2} - {({\sin (x)}^{2})}^{2}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1^{2}$ e $b = {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{(1^{2} + {\sin (x)}^{2}) (1^{2} - {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{(1 + {\sin (x)}^{2}) (1^{2} - {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \sin (x)$ .

$\frac{(1 + {\sin (x)}^{2}) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Scomponi ${\cos (x)}^{2}$ da ${\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Scomponi ${\cos (x)}^{2}$ da ${\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2}$ .

$\frac{(1 + {\sin (x)}^{2}) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} (1^{2}) + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.2

Scomponi ${\cos (x)}^{2}$ da ${\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{(1 + {\sin (x)}^{2}) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} (1^{2}) + {\cos (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2})}$

Passaggio 3.5.1.3

Scomponi ${\cos (x)}^{2}$ da ${\cos (x)}^{2} (1^{2}) + {\cos (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2})$ .

$\frac{(1 + {\sin (x)}^{2}) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} (1^{2} + {\sin (x)}^{2})}$

Passaggio 3.5.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{(1 + {\sin (x)}^{2}) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} (1 + {\sin (x)}^{2})}$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $1 + {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4

Ora considera il lato destro dell'equazione.

$\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Passaggio 5

Converti in seni e coseni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica l'identità reciproca a $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - \tan^{2} (x)$

Passaggio 5.2

Scrivi $\tan (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Passaggio 5.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Passaggio 5.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 8

Semplifica il numeratore.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 9

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)} = \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$ è un'identità