Trigonometria Esempi

$\cot (- x) \cos (- x) + \sin (- x) = - \csc (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\cot (- x) \cos (- x) + \sin (- x)$

Passaggio 2

Poiché $\cot (- x)$ è una funzione dispari, riscrivi $\cot (- x)$ come $- \cot (x)$ .

$- \cot (x) \cos (- x) + \sin (- x)$

Passaggio 3

Poiché $\cos (- x)$ è una funzione pari, riscrivi $\cos (- x)$ come $\cos (x)$ .

$- \cot (x) \cos (x) + \sin (- x)$

Passaggio 4

Poiché $\sin (- x)$ è una funzione dispari, riscrivi $\sin (- x)$ come $- \sin (x)$ .

$- \cot (x) \cos (x) - \sin (x)$

Passaggio 5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $\cot (x)$ in termini di seno e coseno.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x) - \sin (x)$

Passaggio 5.2

Moltiplica $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ .

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Passaggio 5.2.1

$\cos (x)$ e $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Passaggio 5.2.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Passaggio 5.2.3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Passaggio 5.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} - \sin (x)$

Passaggio 5.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Passaggio 6

Applica l'identità pitagorica al contrario.

$- \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- \frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\sin (x)} - \sin (x)$

Passaggio 7.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \sin (x)$ .

$- \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} - \sin (x)$

Passaggio 7.2

Per scrivere $- \sin (x)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} - \sin (x) \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 7.3

$- \sin (x)$ e $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 7.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) - \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 7.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.5.1

Scomponi $- 1$ da $- (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) - \sin (x) \sin (x)$ .

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Passaggio 7.5.1.1

Scomponi $- 1$ da $- (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

$\frac{- ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) - \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 7.5.1.2

Scomponi $- 1$ da $- \sin (x) \sin (x)$ .

$\frac{- ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) - (\sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Passaggio 7.5.1.3

Scomponi $- 1$ da $- ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) - (\sin (x) \sin (x))$ .

$\frac{- ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Passaggio 7.5.2

Espandi $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 7.5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- (1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Passaggio 7.5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- (1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Passaggio 7.5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- (1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Passaggio 7.5.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 7.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.5.3.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{- (1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Passaggio 7.5.3.1.2

Moltiplica $- \sin (x)$ per $1$ .

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Passaggio 7.5.3.1.3

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Passaggio 7.5.3.1.4

Moltiplica $\sin (x) (- \sin (x))$ .

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Passaggio 7.5.3.1.4.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Passaggio 7.5.3.1.4.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Passaggio 7.5.3.1.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Passaggio 7.5.3.1.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{2} + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Passaggio 7.5.3.2

Somma $- \sin (x)$ e $\sin (x)$ .

$\frac{- (1 + 0 - {\sin (x)}^{2} + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Passaggio 7.5.3.3

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Passaggio 7.5.4

Moltiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Passaggio 7.5.4.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{1} \sin (x))}{\sin (x)}$

Passaggio 7.5.4.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1})}{\sin (x)}$

Passaggio 7.5.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{1 + 1})}{\sin (x)}$

Passaggio 7.5.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{\sin (x)}$

Passaggio 7.5.5

Somma $- {\sin (x)}^{2}$ e ${\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{- (1 + 0)}{\sin (x)}$

Passaggio 7.5.6

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{\sin (x)}$

Passaggio 7.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 1}{\sin (x)}$

Passaggio 7.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 8

Scrivi $- 1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 9

Combina.

$\frac{- 1 \cdot 1}{1 \sin (x)}$

Passaggio 10

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 1}{1 \sin (x)}$

Passaggio 11

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{- 1}{\sin (x)}$

Passaggio 12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 13

Ora considera il lato destro dell'equazione.

$- \csc (x)$

Passaggio 14

Applica l'identità reciproca a $\csc (x)$ .

$- \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 15

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\cot (- x) \cos (- x) + \sin (- x) = - \csc (x)$ è un'identità