Trigonometria Esempi

$\cos (x + \frac{π}{4}) + \cos (x - \frac{π}{4}) = \sqrt{2} \cos (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\cos (x + \frac{π}{4}) + \cos (x - \frac{π}{4})$

Passaggio 2

Applica le formule di addizione degli angoli $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (x) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{4}) + \cos (x - \frac{π}{4})$

Passaggio 3

Applica le formule di addizione degli angoli $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (x) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{4}) + \cos (x) \cos (- \frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos (x) \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (x) \sin (\frac{π}{4}) + \cos (x) \cos (- \frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

Passaggio 4.1.2

$\cos (x)$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) \sin (\frac{π}{4}) + \cos (x) \cos (- \frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

Passaggio 4.1.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (x) \cos (- \frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

Passaggio 4.1.4

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \cos (x) \cos (- \frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

Passaggio 4.1.5

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \cos (x) \cos (\frac{7 π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

Passaggio 4.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \cos (x) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

Passaggio 4.1.7

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \cos (x) \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

Passaggio 4.1.8

$\cos (x)$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

Passaggio 4.1.9

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) \sin (\frac{7 π}{4})$

Passaggio 4.1.10

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) (- \sin (\frac{π}{4}))$

Passaggio 4.1.11

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 4.1.12

Moltiplica $- \sin (x) (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Passaggio 4.1.12.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + 1 \sin (x) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.1.12.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \sin (x) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.1.12.3

$\sin (x)$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.2

Combina i termini opposti in $\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$ .

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Passaggio 4.2.1

Riordina i fattori nei termini di $- \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$ e $\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$

Passaggio 4.2.2

Somma $- \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$ e $\frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + 0 + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.2.3

Somma $\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2}$ e $0$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\cos (x) \sqrt{2} + \cos (x) \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.4

Somma $\cos (x) \sqrt{2}$ e $\cos (x) \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \cos (x) \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cos (x) \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.5.2

Dividi $\cos (x) \sqrt{2}$ per $1$ .

$\cos (x) \sqrt{2}$

Passaggio 5

Riordina i fattori in $\cos (x) \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2} \cos (x)$

Passaggio 6

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\cos (x + \frac{π}{4}) + \cos (x - \frac{π}{4}) = \sqrt{2} \cos (x)$ è un'identità