Trigonometria Esempi

$\cos (\frac{7 π}{4} + x) + \sin (\frac{5 π}{4} + x) = 0$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\cos (\frac{7 π}{4} + x) + \sin (\frac{5 π}{4} + x)$

Passaggio 2

Applica le formule di addizione degli angoli $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (\frac{7 π}{4}) \cos (x) - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4} + x)$

Passaggio 3

Applica le formule di addizione degli angoli.

$\cos (\frac{7 π}{4}) \cos (x) - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\cos (\frac{π}{4}) \cos (x) - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Passaggio 4.1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (x) - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Passaggio 4.1.3

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Passaggio 4.1.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} - - \sin (\frac{π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Passaggio 4.1.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} - - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Passaggio 4.1.6

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Passaggio 4.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Passaggio 4.1.6.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Passaggio 4.1.7

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Passaggio 4.1.8

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \sin (\frac{π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Passaggio 4.1.9

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Passaggio 4.1.10

$\cos (x)$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Passaggio 4.1.11

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (x)$

Passaggio 4.1.12

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (x)$

Passaggio 4.1.13

$\sin (x)$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x) + \sqrt{2} \sin (x) - \cos (x) \sqrt{2} - \sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.3

Combina i termini opposti in $\sqrt{2} \cos (x) + \sqrt{2} \sin (x) - \cos (x) \sqrt{2} - \sin (x) \sqrt{2}$ .

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Passaggio 4.3.1

Riordina i fattori nei termini di $\sqrt{2} \cos (x)$ e $- \cos (x) \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x) + \sqrt{2} \sin (x) - \sqrt{2} \cos (x) - \sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $\sqrt{2} \cos (x)$ da $\sqrt{2} \cos (x)$ .

$\frac{0 + \sqrt{2} \sin (x) - \sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.3.3

Somma $0$ e $\sqrt{2} \sin (x)$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (x) - \sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.3.4

Riordina i fattori nei termini di $\sqrt{2} \sin (x)$ e $- \sin (x) \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (x) - \sqrt{2} \sin (x)}{2}$

Passaggio 4.3.5

Sottrai $\sqrt{2} \sin (x)$ da $\sqrt{2} \sin (x)$ .

$\frac{0}{2}$

Passaggio 4.4

Dividi $0$ per $2$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\cos (\frac{7 π}{4} + x) + \sin (\frac{5 π}{4} + x) = 0$ è un'identità