Trigonometria Esempi

$\cos (a + b) \cdot \cos (a - b) = \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\cos (a + b) \cdot \cos (a - b)$

Passaggio 2

Applica le formule di addizione degli angoli $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot \cos (a - b)$

Passaggio 3

Applica le formule di addizione degli angoli $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (- b) - \sin (a) \sin (- b))$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Poiché $\cos (- b)$ è una funzione pari, riscrivi $\cos (- b)$ come $\cos (b)$ .

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (- b))$

Passaggio 4.1.2

Poiché $\sin (- b)$ è una funzione dispari, riscrivi $\sin (- b)$ come $- \sin (b)$ .

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (b) - \sin (a) (- \sin (b)))$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $- \sin (a) (- \sin (b))$ .

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Passaggio 4.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (b) + 1 \sin (a) \sin (b))$

Passaggio 4.1.3.2

Moltiplica $\sin (a)$ per $1$ .

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b))$

Passaggio 4.2

Espandi $(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b)) - \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b))$

Passaggio 4.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + \cos (a) \cos (b) (\sin (a) \sin (b)) - \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b))$

Passaggio 4.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + \cos (a) \cos (b) (\sin (a) \sin (b)) - \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Passaggio 4.3

Combina i termini opposti in $\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + \cos (a) \cos (b) (\sin (a) \sin (b)) - \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$ .

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Passaggio 4.3.1

Riordina i fattori nei termini di $\cos (a) \cos (b) (\sin (a) \sin (b))$ e $- \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b))$ .

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + \cos (a) \cos (b) \sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b) \sin (a) \sin (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $\cos (a) \cos (b) \sin (a) \sin (b)$ da $\cos (a) \cos (b) \sin (a) \sin (b)$ .

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + 0 - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Passaggio 4.3.3

Somma $\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b))$ e $0$ .

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Passaggio 4.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.4.1

Moltiplica $\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b))$ .

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Passaggio 4.4.1.1

Eleva $\cos (a)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{1} (a) \cos (a) \cos (b) \cos (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Passaggio 4.4.1.2

Eleva $\cos (a)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{1} (a) \cos^{1} (a) \cos (b) \cos (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Passaggio 4.4.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\cos (a)}^{1 + 1} \cos (b) \cos (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Passaggio 4.4.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos (b) \cos (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Passaggio 4.4.1.5

Eleva $\cos (b)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (a) (\cos^{1} (b) \cos (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Passaggio 4.4.1.6

Eleva $\cos (b)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (a) (\cos^{1} (b) \cos^{1} (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Passaggio 4.4.1.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos^{2} (a) {\cos (b)}^{1 + 1} - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Passaggio 4.4.1.8

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $- \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$ .

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Passaggio 4.4.2.1

Eleva $\sin (a)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - (\sin^{1} (a) \sin (a)) \sin (b) \sin (b)$

Passaggio 4.4.2.2

Eleva $\sin (a)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - (\sin^{1} (a) \sin^{1} (a)) \sin (b) \sin (b)$

Passaggio 4.4.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - {\sin (a)}^{1 + 1} \sin (b) \sin (b)$

Passaggio 4.4.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin (b) \sin (b)$

Passaggio 4.4.2.5

Eleva $\sin (b)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\sin^{1} (b) \sin (b))$

Passaggio 4.4.2.6

Eleva $\sin (b)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\sin^{1} (b) \sin^{1} (b))$

Passaggio 4.4.2.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) {\sin (b)}^{1 + 1}$

Passaggio 4.4.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

Passaggio 5

Applica l'identità pitagorica al contrario.

$(1 - \sin^{2} (a)) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

Passaggio 6

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

Passaggio 7

Moltiplica ${\cos (b)}^{2}$ per $1$ .

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

Passaggio 8

Applica l'identità pitagorica.

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Passaggio 8.1

Scomponi $- \sin^{2} (a)$ da $- \sin^{2} (a) \cos^{2} (b)$ .

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\cos^{2} (b)) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

Passaggio 8.2

Scomponi $- \sin^{2} (a)$ da $- \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$ .

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\cos^{2} (b)) - \sin^{2} (a) (\sin^{2} (b))$

Passaggio 8.3

Scomponi $- \sin^{2} (a)$ da $- \sin^{2} (a) (\cos^{2} (b)) - \sin^{2} (a) (\sin^{2} (b))$ .

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\cos^{2} (b) + \sin^{2} (b))$

Passaggio 8.4

Rimetti in ordine i termini.

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\sin^{2} (b) + \cos^{2} (b))$

Passaggio 8.5

Applica l'identità pitagorica.

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \cdot 1$

Passaggio 9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a)$

Passaggio 10

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\cos (a + b) \cdot \cos (a - b) = \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a)$ è un'identità