Trigonometria Esempi

$\cos (x) (\tan (x) + 2) (2 \tan (x) + 1) = 2 \sec (x) + 5 \sin (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\cos (x) (\tan (x) + 2) (2 \tan (x) + 1)$

Passaggio 2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2) (2 \tan (x) + 1)$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$(\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot 2) (2 \tan (x) + 1)$

Passaggio 2.3

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

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Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune.

$(\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot 2) (2 \tan (x) + 1)$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$(\sin (x) + \cos (x) \cdot 2) (2 \tan (x) + 1)$

Passaggio 2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (x)$ .

$(\sin (x) + 2 \cdot \cos (x)) (2 \tan (x) + 1)$

Passaggio 2.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.5.1

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$(\sin (x) + 2 \cos (x)) (2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1)$

Passaggio 2.5.2

$2$ e $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(\sin (x) + 2 \cos (x)) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1)$

Passaggio 2.6

Espandi $(\sin (x) + 2 \cos (x)) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (x) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1) + 2 \cos (x) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1)$

Passaggio 2.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1)$

Passaggio 2.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Passaggio 2.7

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.7.1.1

Moltiplica $\sin (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Passaggio 2.7.1.1.1

$\sin (x)$ e $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (2 \sin (x))}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Passaggio 2.7.1.1.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Passaggio 2.7.1.1.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Passaggio 2.7.1.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Passaggio 2.7.1.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Passaggio 2.7.1.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Passaggio 2.7.1.3

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

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Passaggio 2.7.1.3.1

Scomponi $\cos (x)$ da $2 \cos (x)$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Passaggio 2.7.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Passaggio 2.7.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + 2 (2 \sin (x)) + 2 \cos (x) \cdot 1$

Passaggio 2.7.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + 4 \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1$

Passaggio 2.7.1.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + 4 \sin (x) + 2 \cos (x)$

Passaggio 2.7.2

Somma $\sin (x)$ e $4 \sin (x)$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 5 \sin (x) + 2 \cos (x)$

Passaggio 3

Applica l'identità pitagorica al contrario.

$\frac{2 (1 - \cos^{2} (x))}{\cos (x)} + 5 \sin (x) + 2 \cos (x)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{2 (1^{2} - {\cos (x)}^{2})}{\cos (x)} + 5 \sin (x) + 2 \cos (x)$

Passaggio 4.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \cos (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)} + 5 \sin (x) + 2 \cos (x)$

Passaggio 4.2

Per scrivere $5 \sin (x)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Passaggio 4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Passaggio 4.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 \cos (x)) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(2 + 2 \cos (x)) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Passaggio 4.4.3

Espandi $(2 + 2 \cos (x)) (1 - \cos (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.4.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (1 - \cos (x)) + 2 \cos (x) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Passaggio 4.4.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- \cos (x)) + 2 \cos (x) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Passaggio 4.4.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Passaggio 4.4.4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.4.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.4.4.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 + 2 (- \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Passaggio 4.4.4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Passaggio 4.4.4.1.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cos (x) (- \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Passaggio 4.4.4.1.4

Moltiplica $2 \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Passaggio 4.4.4.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x) \cos (x) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Passaggio 4.4.4.1.4.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 ({\cos (x)}^{1} \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Passaggio 4.4.4.1.4.3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Passaggio 4.4.4.1.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 {\cos (x)}^{1 + 1} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Passaggio 4.4.4.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Passaggio 4.4.4.2

Somma $- 2 \cos (x)$ e $2 \cos (x)$ .

$\frac{2 + 0 - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Passaggio 4.4.4.3

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{2 - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Passaggio 4.5

Per scrivere $2 \cos (x)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 4.7

Semplifica il numeratore.

$\frac{2 + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 5

Ora considera il lato destro dell'equazione.

$2 \sec (x) + 5 \sin (x)$

Passaggio 6

Applica l'identità reciproca a $\sec (x)$ .

$2 \frac{1}{\cos (x)} + 5 \sin (x)$

Passaggio 7

$2$ e $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (x)} + 5 \sin (x)$

Passaggio 8

Scrivi $5 \sin (x)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{2}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{1}$

Passaggio 9

Somma le frazioni.

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Passaggio 9.1

Per scrivere $\frac{5 \sin (x)}{1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 9.2

Moltiplica $\frac{5 \sin (x)}{1}$ per $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 9.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 10

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\cos (x) (\tan (x) + 2) (2 \tan (x) + 1) = 2 \sec (x) + 5 \sin (x)$ è un'identità