Trigonometria Esempi

$\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)} - \cot (A) = \csc (A)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)} - \cot (A)$

Passaggio 2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\cot (A)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Passaggio 2.2

Per scrivere $\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sin (A)}{\sin (A)}$ .

$\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)} \cdot \frac{\sin (A)}{\sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 - \cos (A)}{1 - \cos (A)}$ .

$\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)} \cdot \frac{\sin (A)}{\sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1 - \cos (A)}{1 - \cos (A)}$

Passaggio 2.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(1 - \cos (A)) \sin (A)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.4.1

Moltiplica $\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)}$ per $\frac{\sin (A)}{\sin (A)}$ .

$\frac{\sin (A) \sin (A)}{(1 - \cos (A)) \sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1 - \cos (A)}{1 - \cos (A)}$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ per $\frac{1 - \cos (A)}{1 - \cos (A)}$ .

$\frac{\sin (A) \sin (A)}{(1 - \cos (A)) \sin (A)} - \frac{\cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Passaggio 2.4.3

Riordina i fattori di $(1 - \cos (A)) \sin (A)$ .

$\frac{\sin (A) \sin (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))} - \frac{\cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sin (A) \sin (A) - \cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.6.1

Moltiplica $\sin (A) \sin (A)$ .

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Passaggio 2.6.1.1

Eleva $\sin (A)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{1} (A) \sin (A) - \cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Passaggio 2.6.1.2

Eleva $\sin (A)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{1} (A) \sin^{1} (A) - \cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Passaggio 2.6.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{\sin (A)}^{1 + 1} - \cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Passaggio 2.6.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Passaggio 2.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) \cdot 1 - \cos (A) (- \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Passaggio 2.6.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) - \cos (A) (- \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Passaggio 2.6.4

Moltiplica $- \cos (A) (- \cos (A))$ .

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Passaggio 2.6.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) + 1 \cos (A) \cos (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Passaggio 2.6.4.2

Moltiplica $\cos (A)$ per $1$ .

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) + \cos (A) \cos (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Passaggio 2.6.4.3

Eleva $\cos (A)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) + \cos^{1} (A) \cos (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Passaggio 2.6.4.4

Eleva $\cos (A)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) + \cos^{1} (A) \cos^{1} (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Passaggio 2.6.4.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) + {\cos (A)}^{1 + 1}}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Passaggio 2.6.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) + \cos^{2} (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Passaggio 2.6.5

Riscrivi $\sin^{2} (A) - \cos (A) + \cos^{2} (A)$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 2.6.5.1

Rimetti in ordine i termini.

$\frac{- \cos (A) + \sin^{2} (A) + \cos^{2} (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Passaggio 2.6.5.2

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{- \cos (A) + 1}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Passaggio 2.7

Elimina il fattore comune di $- \cos (A) + 1$ e $1 - \cos (A)$ .

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Passaggio 2.7.1

Riordina i termini.

$\frac{1 - \cos (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Passaggio 2.7.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 - \cos (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Passaggio 2.7.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sin (A)}$

Passaggio 3

Riscrivi $\frac{1}{\sin (A)}$ come $\csc (A)$ .

$\csc (A)$

Passaggio 4

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)} - \cot (A) = \csc (A)$ è un'identità