Trigonometria Esempi

$\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)} - \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)} = 2 \csc (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)} - \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$

Passaggio 2

Sottrai le frazioni.

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Passaggio 2.1

Per scrivere $\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$ .

$\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)} - \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$

Passaggio 2.2

Per scrivere $- \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$ .

$\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)} - \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$

Passaggio 2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(\csc (x) - \cot (x)) (\csc (x) + \cot (x))$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$ per $\frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$ .

$\frac{\sec (x) (\csc (x) + \cot (x))}{(\csc (x) - \cot (x)) (\csc (x) + \cot (x))} - \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$ per $\frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$ .

$\frac{\sec (x) (\csc (x) + \cot (x))}{(\csc (x) - \cot (x)) (\csc (x) + \cot (x))} - \frac{\sec (x) (\csc (x) - \cot (x))}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i fattori di $(\csc (x) - \cot (x)) (\csc (x) + \cot (x))$ .

$\frac{\sec (x) (\csc (x) + \cot (x))}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))} - \frac{\sec (x) (\csc (x) - \cot (x))}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sec (x) (\csc (x) + \cot (x)) - \sec (x) (\csc (x) - \cot (x))}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Passaggio 3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sec (x) \csc (x) + \sec (x) \cot (x) - \sec (x) (\csc (x) - \cot (x))}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Passaggio 3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sec (x) \csc (x) + \sec (x) \cot (x) - \sec (x) \csc (x) - \sec (x) (- \cot (x))}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $- \sec (x) (- \cot (x))$ .

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Passaggio 3.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\sec (x) \csc (x) + \sec (x) \cot (x) - \sec (x) \csc (x) + 1 \sec (x) \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Passaggio 3.1.3.2

Moltiplica $\sec (x)$ per $1$ .

$\frac{\sec (x) \csc (x) + \sec (x) \cot (x) - \sec (x) \csc (x) + \sec (x) \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Passaggio 3.2

Sottrai $\sec (x) \csc (x)$ da $\sec (x) \csc (x)$ .

$\frac{\sec (x) \cot (x) + 0 + \sec (x) \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Passaggio 3.3

Somma $\sec (x) \cot (x)$ e $0$ .

$\frac{\sec (x) \cot (x) + \sec (x) \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Passaggio 3.4

Somma $\sec (x) \cot (x)$ e $\sec (x) \cot (x)$ .

$\frac{2 \sec (x) \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Passaggio 4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.1

Espandi $(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \sec (x) \cot (x)}{\csc (x) (\csc (x) - \cot (x)) + \cot (x) (\csc (x) - \cot (x))}$

Passaggio 4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \sec (x) \cot (x)}{\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \cot (x)) + \cot (x) (\csc (x) - \cot (x))}$

Passaggio 4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \sec (x) \cot (x)}{\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \cot (x)) + \cot (x) \csc (x) + \cot (x) (- \cot (x))}$

Passaggio 4.2

Semplifica e combina i termini simili.

$\frac{2 \sec (x) \cot (x)}{\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x)}$

Passaggio 5

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{2 \sec (x) \cot (x)}{1}$

Passaggio 6

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 6.1

Applica l'identità reciproca a $\sec (x)$ .

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)} \cot (x)}{1}$

Passaggio 6.2

Scrivi $\cot (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi $2 \frac{1}{\cos (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ per $1$ .

$2 \frac{1}{\cos (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 7.2

$2$ e $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 7.3

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

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Passaggio 7.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 7.3.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 7.4

$2$ e $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{2}{\sin (x)}$

Passaggio 8

Riscrivi $\frac{2}{\sin (x)}$ come $2 \csc (x)$ .

$2 \csc (x)$

Passaggio 9

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)} - \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)} = 2 \csc (x)$ è un'identità