Trigonometria Esempi

$\csc^{4} (x) - \csc^{2} (x) = \cot^{4} (x) + \cot^{2} (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato destro.

$\cot^{4} (x) + \cot^{2} (x)$

Passaggio 2

Scomponi $\cot^{2} (x)$ da $\cot^{4} (x) + \cot^{2} (x)$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi $\cot^{2} (x)$ da $\cot^{4} (x)$ .

$\cot^{2} (x) \cot^{2} (x) + \cot^{2} (x)$

Passaggio 2.2

Moltiplica per $1$ .

$\cot^{2} (x) \cot^{2} (x) + \cot^{2} (x) \cdot 1$

Passaggio 2.3

Scomponi $\cot^{2} (x)$ da $\cot^{2} (x) \cot^{2} (x) + \cot^{2} (x) \cdot 1$ .

$\cot^{2} (x) (\cot^{2} (x) + 1)$

Passaggio 3

Applica l'identità pitagorica.

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Passaggio 3.1

Rimetti in ordine i termini.

$\cot^{2} (x) (1 + \cot^{2} (x))$

Passaggio 3.2

Applica l'identità pitagorica.

$\cot^{2} (x) \csc^{2} (x)$

Passaggio 4

Applica l'identità pitagorica al contrario.

$(\csc^{2} (x) - 1) \csc^{2} (x)$

Passaggio 5

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 5.1

Applica l'identità reciproca a $\csc (x)$ .

$({(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - 1) \csc^{2} (x)$

Passaggio 5.2

Applica l'identità reciproca a $\csc (x)$ .

$({(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - 1) {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Passaggio 5.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$(\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - 1) {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Passaggio 5.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$(\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - 1) \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1) \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1) \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1 \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 6.4

Combina.

$\frac{1 \cdot 1}{{\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - 1 \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 6.5

Riscrivi $- 1 \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ come $- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{1 \cdot 1}{{\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 6.6

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 6.7

Moltiplica ${\sin (x)}^{2}$ per ${\sin (x)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.7.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2 + 2}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 6.7.2

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{4}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 6.8

Per scrivere $- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{4}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 6.9

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di ${\sin (x)}^{4}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 6.9.1

Moltiplica $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ per $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{4}} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 6.9.2

Moltiplica ${\sin (x)}^{2}$ per ${\sin (x)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.9.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{4}} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2 + 2}}$

Passaggio 6.9.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{4}} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{4}}$

Passaggio 6.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{4}}$

Passaggio 6.11

Semplifica il numeratore.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin^{4} (x)}$

Passaggio 7

Riscrivi $\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin^{4} (x)}$ come $\csc^{4} (x) - \csc^{2} (x)$ .

$\csc^{4} (x) - \csc^{2} (x)$

Passaggio 8

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\csc^{4} (x) - \csc^{2} (x) = \cot^{4} (x) + \cot^{2} (x)$ è un'identità