Trigonometria Esempi

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} = 2 \sec^{2} (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$

Passaggio 2

Sottrai le frazioni.

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Passaggio 2.1

Per scrivere $\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)}$ .

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$

Passaggio 2.2

Per scrivere $- \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$ .

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} \cdot \frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$

Passaggio 2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$ per $\frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)}$ .

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} \cdot \frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$ per $\frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$ .

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))} - \frac{\csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 - \csc (x)) (1 + \csc (x))}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i fattori di $(1 - \csc (x)) (1 + \csc (x))$ .

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))} - \frac{\csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Passaggio 3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $\csc (x)$ per $1$ .

$\frac{\csc (x) + \csc (x) (- \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $\csc (x) (- \csc (x))$ .

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Passaggio 3.1.3.1

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\csc (x) - ({\csc (x)}^{1} \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Passaggio 3.1.3.2

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\csc (x) - ({\csc (x)}^{1} {\csc (x)}^{1}) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Passaggio 3.1.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{1 + 1} - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Passaggio 3.1.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Passaggio 3.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) \cdot 1 - \csc (x) \csc (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Passaggio 3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - \csc (x) \csc (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Passaggio 3.1.6

Moltiplica $- \csc (x) \csc (x)$ .

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Passaggio 3.1.6.1

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - ({\csc (x)}^{1} \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Passaggio 3.1.6.2

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - ({\csc (x)}^{1} {\csc (x)}^{1})}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Passaggio 3.1.6.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - {\csc (x)}^{1 + 1}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Passaggio 3.1.6.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - {\csc (x)}^{2}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Passaggio 3.2

Sottrai $\csc (x)$ da $\csc (x)$ .

$\frac{- {\csc (x)}^{2} + 0 - {\csc (x)}^{2}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Passaggio 3.3

Somma $- {\csc (x)}^{2}$ e $0$ .

$\frac{- {\csc (x)}^{2} - {\csc (x)}^{2}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Passaggio 3.4

Sottrai ${\csc (x)}^{2}$ da $- {\csc (x)}^{2}$ .

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Passaggio 4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.1

Espandi $(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 (1 - \csc (x)) + \csc (x) (1 - \csc (x))}$

Passaggio 4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + \csc (x) (1 - \csc (x))}$

Passaggio 4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc (x))}$

Passaggio 4.2

Semplifica e combina i termini simili.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 - \csc^{2} (x)}$

Passaggio 5

Applica l'identità pitagorica.

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Passaggio 5.1

Riordina $1$ e $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- \csc^{2} (x) + 1}$

Passaggio 5.2

Scomponi $- 1$ da $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- (\csc^{2} (x)) + 1}$

Passaggio 5.3

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

Passaggio 5.4

Scomponi $- 1$ da $- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- (\csc^{2} (x) - 1)}$

Passaggio 5.5

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- \cot^{2} (x)}$

Passaggio 6

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 6.1

Applica l'identità reciproca a $\csc (x)$ .

$\frac{- 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{- \cot^{2} (x)}$

Passaggio 6.2

Scrivi $\cot (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\frac{- 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{- {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

Passaggio 6.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{- {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

Passaggio 6.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- 2 \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Passaggio 7.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 2 \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Passaggio 7.3

$- 2$ e $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Passaggio 7.4

Elimina il fattore comune di ${\sin (x)}^{2}$ .

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Passaggio 7.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Passaggio 7.4.2

Scomponi ${\sin (x)}^{2}$ da $- {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2}}$

Passaggio 7.4.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2}}$

Passaggio 7.4.4

Riscrivi l'espressione.

$- 2 \frac{- 1}{{\cos (x)}^{2}}$

Passaggio 7.5

$- 2$ e $\frac{- 1}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2}}$

Passaggio 7.6

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 8

Riscrivi $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ come $2 \sec^{2} (x)$ .

$2 \sec^{2} (x)$

Passaggio 9

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} = 2 \sec^{2} (x)$ è un'identità