Trigonometria Esempi

$\cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x) = \cos^{2} (2 x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x)$

Passaggio 2

Scomponi $\cos^{2} (x)$ da $\cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica per $1$ .

$\cos^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x)$

Passaggio 2.2

Scomponi $\cos^{2} (x)$ da $- 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \cdot 1 + \cos^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x)$

Passaggio 2.3

Scomponi $\cos^{2} (x)$ da $\cos^{2} (x) \cdot 1 + \cos^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$\cos^{2} (x) (1 - 2 \sin^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x)$

Passaggio 3

Applica l'identità pitagorica al contrario.

$(1 - \sin^{2} (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Espandi $(1 - {\sin (x)}^{2}) (1 - 2 {\sin (x)}^{2})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 (1 - 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} (1 - 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Passaggio 4.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} (1 - 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Passaggio 4.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2} (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$1 + 1 (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2} (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $- 2 {\sin (x)}^{2}$ per $1$ .

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2} (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica ${\sin (x)}^{2}$ per ${\sin (x)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1.2.1.4.1

Sposta ${\sin (x)}^{2}$ .

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} - ({\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}) \cdot - 2 - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Passaggio 4.1.2.1.4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2 + 2} \cdot - 2 - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Passaggio 4.1.2.1.4.3

Somma $2$ e $2$ .

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{4} \cdot - 2 - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Passaggio 4.1.2.1.5

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4} - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai ${\sin (x)}^{2}$ da $- 2 {\sin (x)}^{2}$ .

$1 - 3 {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4} - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Passaggio 4.2

Sottrai ${\sin (x)}^{2}$ da $- 3 {\sin (x)}^{2}$ .

$1 + 2 {\sin (x)}^{4} - 4 {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Passaggio 4.3

Somma $2 {\sin (x)}^{4}$ e $2 {\sin (x)}^{4}$ .

$1 + 4 \sin^{4} (x) - 4 \sin^{2} (x)$

Passaggio 5

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 5.1

Rimetti in ordine i termini.

$1 - 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x)$

Passaggio 5.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$1^{2} - 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x)$

Passaggio 5.3

Riscrivi $4 \sin^{4} (x)$ come ${(2 \sin^{2} (x))}^{2}$ .

$1^{2} - 4 \sin^{2} (x) + {(2 \sin^{2} (x))}^{2}$

Passaggio 5.4

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 \sin^{2} (x) = 2 \cdot 1 \cdot (2 \sin^{2} (x))$

Passaggio 5.5

Riscrivi il polinomio.

$1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot (2 \sin^{2} (x)) + {(2 \sin^{2} (x))}^{2}$

Passaggio 5.6

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = 1$ e $b = 2 \sin^{2} (x)$ .

${(1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2}$

Passaggio 6

Applica l'identità a doppio angolo del coseno.

$\cos^{2} (2 x)$

Passaggio 7

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x) = \cos^{2} (2 x)$ è un'identità