Trigonometria Esempi

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1} = \sec (A) - \tan (A)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1}$

Passaggio 2

Moltiplica $\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1}$ per $\frac{- \csc (A) + 1}{- \csc (A) + 1}$ .

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1} \cdot \frac{- \csc (A) + 1}{- \csc (A) + 1}$

Passaggio 3

Combina.

$\frac{\cot (A) (- \csc (A) + 1)}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

Passaggio 4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cot (A) (- \csc (A)) + \cot (A) \cdot 1}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\cot (A)$ per $1$ .

$\frac{\cot (A) (- \csc (A)) + \cot (A)}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

Passaggio 4.3

Riordina i fattori in $\cot (A) (- \csc (A)) + \cot (A)$ .

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

Passaggio 5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.1

Espandi $(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{\csc (A) (- \csc (A) + 1) + 1 (- \csc (A) + 1)}$

Passaggio 5.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{\csc (A) (- \csc (A)) + \csc (A) \cdot 1 + 1 (- \csc (A) + 1)}$

Passaggio 5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{\csc (A) (- \csc (A)) + \csc (A) \cdot 1 + 1 (- \csc (A)) + 1 \cdot 1}$

Passaggio 5.2

Semplifica e combina i termini simili.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- \csc^{2} (A) + 1}$

Passaggio 6

Applica l'identità pitagorica.

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Passaggio 6.1

Scomponi $- 1$ da $- \csc^{2} (A)$ .

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- (\csc^{2} (A)) + 1}$

Passaggio 6.2

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- \csc^{2} (A) - 1 \cdot - 1}$

Passaggio 6.3

Scomponi $- 1$ da $- \csc^{2} (A) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- (\csc^{2} (A) - 1)}$

Passaggio 6.4

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- \cot^{2} (A)}$

Passaggio 7

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 7.1

Scrivi $\cot (A)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \csc (A) + \cot (A)}{- \cot^{2} (A)}$

Passaggio 7.2

Applica l'identità reciproca a $\csc (A)$ .

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \cot (A)}{- \cot^{2} (A)}$

Passaggio 7.3

Scrivi $\cot (A)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}}{- \cot^{2} (A)}$

Passaggio 7.4

Scrivi $\cot (A)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}}{- {(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2}}$

Passaggio 7.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ .

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}}{- \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$(- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Passaggio 8.2

Moltiplica $- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)}$ .

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Passaggio 8.2.1

Moltiplica $\frac{1}{\sin (A)}$ per $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ .

$(- \frac{\cos (A)}{\sin (A) \sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Passaggio 8.2.2

Eleva $\sin (A)$ alla potenza di $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{1} \sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Passaggio 8.2.3

Eleva $\sin (A)$ alla potenza di $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{1} {\sin (A)}^{1}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Passaggio 8.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Passaggio 8.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Passaggio 8.3

Per scrivere $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sin (A)}{\sin (A)}$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{\sin (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Passaggio 8.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di ${\sin (A)}^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 8.4.1

Moltiplica $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ per $\frac{\sin (A)}{\sin (A)}$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{\sin (A) \sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Passaggio 8.4.2

Eleva $\sin (A)$ alla potenza di $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{1} \sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Passaggio 8.4.3

Eleva $\sin (A)$ alla potenza di $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{1} {\sin (A)}^{1}}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Passaggio 8.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{1 + 1}}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Passaggio 8.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Passaggio 8.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \cos (A) + \cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Passaggio 8.6

Scomponi $\cos (A)$ da $- \cos (A) + \cos (A) \sin (A)$ .

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Passaggio 8.6.1

Scomponi $\cos (A)$ da $- \cos (A)$ .

$\frac{\cos (A) \cdot - 1 + \cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Passaggio 8.6.2

Scomponi $\cos (A)$ da $\cos (A) \sin (A)$ .

$\frac{\cos (A) \cdot - 1 + \cos (A) (\sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Passaggio 8.6.3

Scomponi $\cos (A)$ da $\cos (A) \cdot - 1 + \cos (A) (\sin (A))$ .

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Passaggio 8.7

Elimina il fattore comune di $\cos (A)$ .

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Passaggio 8.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}}$

Passaggio 8.7.2

Scomponi $\cos (A)$ da ${\cos (A)}^{2}$ .

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{\cos (A) \cos (A)}$

Passaggio 8.7.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{\cos (A) \cos (A)}$

Passaggio 8.7.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1 + \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{\cos (A)}$

Passaggio 8.8

Elimina il fattore comune di ${\sin (A)}^{2}$ .

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Passaggio 8.8.1

Scomponi ${\sin (A)}^{2}$ da $- {\sin (A)}^{2}$ .

$\frac{- 1 + \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (A)}^{2} \cdot - 1}{\cos (A)}$

Passaggio 8.8.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1 + \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (A)}^{2} \cdot - 1}{\cos (A)}$

Passaggio 8.8.3

Riscrivi l'espressione.

$(- 1 + \sin (A)) \frac{- 1}{\cos (A)}$

Passaggio 8.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(- 1 + \sin (A)) (- \frac{1}{\cos (A)})$

Passaggio 8.10

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 (- \frac{1}{\cos (A)}) + \sin (A) (- \frac{1}{\cos (A)})$

Passaggio 8.11

Moltiplica $- 1 (- \frac{1}{\cos (A)})$ .

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Passaggio 8.11.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{1}{\cos (A)} + \sin (A) (- \frac{1}{\cos (A)})$

Passaggio 8.11.2

Moltiplica $\frac{1}{\cos (A)}$ per $1$ .

$\frac{1}{\cos (A)} + \sin (A) (- \frac{1}{\cos (A)})$

Passaggio 8.12

$\sin (A)$ e $\frac{1}{\cos (A)}$ .

$\frac{1}{\cos (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}$

Passaggio 9

Ora considera il lato destro dell'equazione.

$\sec (A) - \tan (A)$

Passaggio 10

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 10.1

Applica l'identità reciproca a $\sec (A)$ .

$\frac{1}{\cos (A)} - \tan (A)$

Passaggio 10.2

Scrivi $\tan (A)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\frac{1}{\cos (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}$

Passaggio 11

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1} = \sec (A) - \tan (A)$ è un'identità